Determine o conjunto de pontos onde a função composta h(x)=f(g(x)) é contínua para as funções: f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 x+4, & \text { se } x \geq 1 \\\\ 3 x+4, & \text { se } x<1\end{aligned} \quad\right.
e \quad g(x)=x-3
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de pontos onde a composta h(x)=f(g(x)) é contínua. Aqui
– g(x)=x-3 é uma função afim;
– f é definida por partes com mudança de expressão em x=1.
Para resolver, vamos usar que polinômios e funções afins são contínuos em todo ponto do seu domínio e que a composição de funções contínuas é contínua, desde que a função exterior seja contínua nos valores assumidos pela interior.
Passo 2
Verificamos que g(x)=x-3 é um polinômio de grau 1, logo contínua em todo \mathbb{R}. Assim, potenciais descontinuidades de h só podem vir de pontos onde f não seja contínua na imagem g(x).
Passo 3
Como f é polinomial em cada ramo, ela é contínua em (-\infty,1) e em (1,\infty). Resta checar a continuidade de f em x=1.
Para t<1, f(t)=3t+4, então
\lim_{t\to1^-}f(t)=3\cdot1+4=7.
Passo 4
Para t\ge1, f(t)=t^2+2t+4, então
\lim_{t\to1^+}f(t)=1^2+2\cdot1+4=7,
e também
f(1)=1^2+2\cdot1+4=7.
Logo os limites lateral esquerdo e direito coincidem com f(1), o que mostra que f é contínua em x=1.
Passo 5
Como g é contínua em todo \mathbb{R} e f é contínua em todo \mathbb{R}, a composição h(x)=f(g(x)) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.