Determine o conjunto de pontos onde a função composta h(x)=f(g(x)) é contínua para as funções: f(x)=\left\{\begin{array}{rl}4 x-3, & \text { se } x \geq 0 \\\ x^{2}-3 x+2, & \text { se } x<0\end{array} \quad \mathrm{e} \quad g(x)=\left\{\begin{aligned} x+1, & \text { se } x>2 \\\\ 1-x^{2}, & \text { se } x \leq 2\end{aligned}\right.\right.
Queremos determinar onde h(x)=f(g(x)) é contínua. Para isso, usamos o fato de que a composição f\circ g é contínua num ponto x_0 se e somente se
g é contínua em x_0,
f é contínua em g(x_0).
Passo 2
Analisamos a continuidade de g. O único ponto crítico é x=2.
Limite pela esquerda em 2: g(2^-)=1-2^2= -3.
Limite pela direita em 2: g(2^+)=2+1=3.
Como -3\neq3, g é descontínua em x=2 e contínua em todo x\neq2.
Passo 3
Analisamos a continuidade de f. O único ponto crítico é x=0.
Limite pela esquerda em 0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2-3x+2)=2.
Limite pela direita em 0:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(4x-3)=-3.
Como 2\neq -3, f é descontínua em x=0 e contínua em todo x\neq0.
Passo 4
Pela regra da composição, h(x)=f(g(x)) é contínua em x se e somente se
x\neq2 (para g ser contínua),
g(x)\neq0 (para f ser contínua em g(x)).
Passo 5
Resolvemos g(x)=0.
Para x>2: x+1=0 dá x=-1, mas não satisfaz x>2.
Para x\le2: 1-x^2=0 dá x=\pm1, ambos \le2.
Logo as soluções são x=-1 e x=1.
Concluímos que h falha em ser contínua em x=2,-1,1.