Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}-x-20\right)}{\sqrt{49-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto onde
f(x)=\frac{\ln\bigl(x^{2}-x-20\bigr)}{\sqrt{49 - x^{2}}}
é contínua.
Para isso precisamos achar o domínio de f, pois uma função composta de operações elementares (logaritmo, raiz e quociente) é contínua em todo ponto de seu domínio.

Passo 2

Analisamos primeiro a parte do logaritmo. O argumento de \ln deve ser estritamente positivo:
x^{2}-x-20>0.
Para resolver essa inequação, encontramos as raízes da equação associada:
x^{2}-x-20=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm9}{2},
isto é, x=-4 e x=5.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e
x^{2}-x-20>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x< -4\quad\text{ou}\quad x>5.

Passo 3

Agora a parte da raiz no denominador exige
49 - x^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad -7<x<7,
e também \sqrt{49 - x^{2}}\neq0, mas como impomos estritamente 49 - x^{2}>0, já garantimos que o denominador não zera.

Passo 4

O domínio de f é a interseção das condições de

Passo 5

\bigl\{x< -4\text{ ou }x>5\bigr\} \;\cap\; (-7,7) \;=\; (-7,-4)\,\cup\,(5,7).

Passo 6

Como \ln, \sqrt{\;\cdot\;} e o quociente são contínuos em seus domínios, e o conjunto acima é exatamente o domínio de f, concluímos que f é contínua em cada ponto de
(-7,-4)\,\cup\,(5,7).

Resposta

O conjunto de pontos onde f é contínua é
(-7,-4)\,\cup\,(5,7).

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