Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para:
f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}+x-6\right)}{\sqrt{16-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de continuidade de
f(x)=\frac{\ln\bigl(x^{2}+x-6\bigr)}{\sqrt{16-x^{2}}}.
Como f é dada por composições de funções elementares contínuas (logaritmo, raiz quadrada, soma, produto, quociente), basta determinar o domínio de definição de cada parte e exigir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Para que o logaritmo esteja definido e seja real, precisamos de
x^{2}+x-6>0.
Fatorando,
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2),
logo a inequação é satisfeita em
x<-3\quad\text{ou}\quad x>2.

Passo 3

Para que a raiz quadrada seja real e o denominador não se anule, exigimos
16-x^{2}>0,
isto é,
-4<x<4.

Passo 4

O domínio de continuidade de f é a interseção das duas condições:
\bigl\{x<-3\;\lor\;x>2\bigr\}\;\cap\;\bigl\{-4<x<4\bigr\}.
Isso gera os intervalos
(-4,-3)\quad\text{e}\quad(2,4).

Resposta

A função f é contínua em
(-4,-3)\cup(2,4).

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