Questão 3 (1 pt) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito cm um semi-círculo de raio 2. (A resposta deve ser justificada com resultados do Cálculo Diferencial).

Passo 1

O enunciado pede a área do maior retângulo que cabe num semi-círculo de raio 2. O conteúdo usado é otimização de função com derivada: vamos expressar a área em função de uma variável, derivar, encontrar ponto crítico e verificar que ele de fato dá o máximo.

Passo 2

Seja x metade da base do retângulo inscrito, medido ao longo do diâmetro. A altura do retângulo será dada pela equação do semi-círculo acima do eixo x, ou seja,
y = raiz2^2 - x^2 = raiz4 - x^2
Como a base total do retângulo é 2x, a área é
A(x) = 2x ,raiz4 - x^2

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia:
A'(x) = 2raiz4 - x^2 + 2xcdot-xraiz4 - x^2 = 2(4 - x^2) - 2x^2raiz4 - x^2 = 8 - 4x^2raiz4 - x^2
Impondo A'(x)=0 8 - 4x^2 = 0, logo x^2 = 2 e x = raiz2 (consideramos x>0).

Passo 4

Calculamos A nesse ponto e nos extremos do domínio [0,2]:
Em x=0 ou x=2, A=0. Em x=raiz2:
A(raiz2) = 2raiz2,raiz4 - 2 = 2raiz2,raiz2 = 4
Como a área nos extremos é 0 e em x=raiz2 é 4, concluímos que 4 é o valor máximo.

Resposta

A área máxima do retângulo inscrito é 4 unidades de área.

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