Questão 3 (1 pt) Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito cm um semi-círculo de raio 2. (A resposta deve ser justificada com resultados do Cálculo Diferencial).
Passo 1
O enunciado pede a área do maior retângulo que cabe num semi-círculo de raio
. O conteúdo usado é otimização de função com derivada: vamos expressar a área em função de uma variável, derivar, encontrar ponto crítico e verificar que ele de fato dá o máximo.
Passo 2
Seja
metade da base do retângulo inscrito, medido ao longo do diâmetro. A altura do retângulo será dada pela equação do semi-círculo acima do eixo
, ou seja,
Como a base total do retângulo é
, a área é
Passo 3
Para achar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto e cadeia:
Impondo
dá
, logo
e
(consideramos
).
Passo 4
Calculamos
nesse ponto e nos extremos do domínio
:
Em ou
,
. Em
:
Em
Como a área nos extremos é
e em
é
, concluímos que
é o valor máximo.
Resposta
A área máxima do retângulo inscrito é
unidades de área.