Determine um conjunto que possua exatamente 48 subconjuntos.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar um conjunto cuja família de todos os seus subconjuntos (ou seja, seu conjunto das partes) tenha exatamente \,48\, elementos.
Informações relevantes dadas (interpretadas):
  • Quer-se um conjunto S tal que |\mathcal{P}(S)|=48, onde \mathcal{P}(S) é o conjunto de todos os subconjuntos de S.
  • Não há restrição adicional (por ex.: finitude do conjunto), então devemos considerar tanto conjuntos finitos quanto infinitos.

Passo 2

Fato fundamental para conjuntos finitos: se S é um conjunto finito com exatamente n elementos, então o número de seus subconjuntos é
2^{n}.
Explicação didática dessa fórmula: cada elemento de S tem duas possibilidades quando formamos um subconjunto: ou ele está presente no subconjunto, ou não está. Essas escolhas são independentes para cada um dos n elementos, então o número total de combinações possíveis é 2\cdot2\cdot\ldots\cdot2 (produto com n fatores), ou seja 2^{n}. Outra explicação equivalente: o número de subconjuntos com exatamente k elementos é \binom{n}{k} e somando sobre todos os k=0,1,\dots,n vem a identidade
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Exemplo concreto para fixar: se n=3 e S=\{a,b,c\}, os subconjuntos são \varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}, total 2^{3}=8.

Passo 3

Aplicando o fato anterior: se o conjunto procurado for finito com n elementos, então devemos ter
2^{n}=48.
Vamos ver se existe n\in\mathbb{N} que satisfaça isso. Calculando potências de 2 próximas:
2^{5}=32,\qquad 2^{6}=64.
Como 48 está estritamente entre 2^{5} e 2^{6}, não existe inteiro n tal que 2^{n}=48. Portanto não existe conjunto finito com exatamente \,48\, subconjuntos.

Passo 4

Agora examinar a possibilidade de S ser infinito. Preciso mostrar que um conjunto infinito não pode ter um número finito (como \,48\,) de subconjuntos.
Argumento simples e concreto: se S é infinito, então existe uma sequência infinita de elementos distintos x_{1},x_{2},x_{3},\dots em S. Para cada m\in\mathbb{N} considere o subconjunto finito
A_{m}=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{m}\}.
Os conjuntos A_{1},A_{2},A_{3},\dots são todos distintos, portanto já existem infinitos subconjuntos de S. Logo \mathcal{P}(S) é infinito. Em particular |\mathcal{P}(S)| não pode ser o número finito \,48.

Passo 5

Conclusão lógica dos passos anteriores: não existe conjunto finito cujo número de subconjuntos seja \,48 (porque esse número teria de ser uma potência de 2), e não existe conjunto infinito com exatamente \,48 subconjuntos (porque conjuntos infinitos têm infinitos subconjuntos). Portanto não existe nenhum conjunto S tal que |\mathcal{P}(S)|=48.

Resposta

Não existe conjunto com exatamente 48 subconjuntos.

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