Determine um conjunto que possua exatamente 48 subconjuntos.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar um conjunto cuja família de todos os seus subconjuntos (ou seja, seu conjunto das partes) tenha exatamente
elementos.
Informações relevantes dadas (interpretadas):
Informações relevantes dadas (interpretadas):
- Quer-se um conjunto
tal que , onde é o conjunto de todos os subconjuntos de . - Não há restrição adicional (por ex.: finitude do conjunto), então devemos considerar tanto conjuntos finitos quanto infinitos.
Passo 2
Fato fundamental para conjuntos finitos: se
é um conjunto finito com exatamente
elementos, então o número de seus subconjuntos é
Explicação didática dessa fórmula: cada elemento de
tem duas possibilidades quando formamos um subconjunto: ou ele está presente no subconjunto, ou não está. Essas escolhas são independentes para cada um dos
elementos, então o número total de combinações possíveis é
(produto com
fatores), ou seja
. Outra explicação equivalente: o número de subconjuntos com exatamente
elementos é
e somando sobre todos os
vem a identidade
Exemplo concreto para fixar: se
e
, os subconjuntos são
, total
.
Passo 3
Aplicando o fato anterior: se o conjunto procurado for finito com
elementos, então devemos ter
Vamos ver se existe
que satisfaça isso. Calculando potências de
próximas:
Como
está estritamente entre
e
, não existe inteiro
tal que
. Portanto não existe conjunto finito com exatamente
subconjuntos.
Passo 4
Agora examinar a possibilidade de
ser infinito. Preciso mostrar que um conjunto infinito não pode ter um número finito (como
) de subconjuntos.
Argumento simples e concreto: se
é infinito, então existe uma sequência infinita de elementos distintos
em
. Para cada
considere o subconjunto finito
Os conjuntos
são todos distintos, portanto já existem infinitos subconjuntos de
. Logo
é infinito. Em particular
não pode ser o número finito
.
Passo 5
Conclusão lógica dos passos anteriores: não existe conjunto finito cujo número de subconjuntos seja
(porque esse número teria de ser uma potência de
), e não existe conjunto infinito com exatamente
subconjuntos (porque conjuntos infinitos têm infinitos subconjuntos). Portanto não existe nenhum conjunto
tal que
.
Resposta
Não existe conjunto com exatamente
subconjuntos.