é um subconjunto próprio de
se
e
é um subconjunto não-trivial de
se
e
e
. Se
possui 5 clementos, quantos são os subconjuntos próprios de
? Quantos são os subconjuntos não-triviais de
?
Passo 1
O enunciado e as informações dadas:
-
é um conjunto que possui elementos. - Definições fornecidas:
-
é um subconjunto próprio de se e . -
é um subconjunto não-trivial de se e e .
-
- Observação sobre notação: vou interpretar
como o próprio conjunto (isso é o que faz sentido no contexto: “não-trivial” normalmente significa que o subconjunto não é nem o conjunto vazio nem o conjunto todo).
As perguntas que o problema faz:
- Quantos são os subconjuntos próprios de
? - Quantos são os subconjuntos não-triviais de
?
Passo 2
Conteúdo teórico necessário (explicado de forma bem didática):
- Para um conjunto com
elementos, o número total de subconjuntos (a chamada potência de ) é .)
Por que isso acontece? Cada elemento do conjunto tem duas possibilidades ao formar um subconjunto: ou o elemento está no subconjunto ou não está. Essas escolhas são independentes para oselementos, então o número total de combinações é ( vezes), isto é . - Exemplo pequeno para fixar a ideia: se
e , os subconjuntos são — são subconjuntos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
, portanto o número total de subconjuntos de é
- Calculando:
Logo
tem
subconjuntos no total (contando o conjunto vazio e o próprio
).
Passo 4
Contando os subconjuntos próprios:
- Por definição, subconjunto próprio é qualquer subconjunto exceto o próprio
. - Então basta tirar 1 (o conjunto
em si) do total:
- Calculando:
Portanto existem
subconjuntos próprios de
.
Passo 5
Contando os subconjuntos não-triviais:
- Por definição (interpretação usada: não-trivial = nem vazio nem o conjunto todo), devemos excluir do total tanto o conjunto vazio quanto o conjunto
. - Logo:
- Calculando:
Uma outra forma equivalente de ver isso é somar os subconjuntos de tamanho
:
.