X é um subconjunto próprio de A se X \subset A e X \neq A ; X é um subconjunto não-trivial de A se X \subset A e X \neq \Lambda e X \neq \varphi. Se A possui 5 clementos, quantos são os subconjuntos próprios de A ? Quantos são os subconjuntos não-triviais de A ?

Passo 1

O enunciado e as informações dadas:
  • A é um conjunto que possui 5 elementos.
  • Definições fornecidas:
    • X é um subconjunto próprio de A se X\subset A e X\neq A.
    • X é um subconjunto não-trivial de A se X\subset A e X\neq \Lambda e X\neq \varphi.
  • Observação sobre notação: vou interpretar \Lambda como o próprio conjunto A (isso é o que faz sentido no contexto: “não-trivial” normalmente significa que o subconjunto não é nem o conjunto vazio nem o conjunto todo).
As perguntas que o problema faz:
  1. Quantos são os subconjuntos próprios de A?
  2. Quantos são os subconjuntos não-triviais de A?

Passo 2

Conteúdo teórico necessário (explicado de forma bem didática):
  • Para um conjunto com n elementos, o número total de subconjuntos (a chamada potência de A) é \,2^n.)
    Por que isso acontece? Cada elemento do conjunto tem duas possibilidades ao formar um subconjunto: ou o elemento está no subconjunto ou não está. Essas escolhas são independentes para os n elementos, então o número total de combinações é 2\times2\times\cdots\times2 ( n vezes), isto é \,2^n.
  • Exemplo pequeno para fixar a ideia: se n=2 e A=\{a,b\}, os subconjuntos são \emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\} — são 2^2=4 subconjuntos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui n=5, portanto o número total de subconjuntos de A é
2^5.
  • Calculando:
2^5 = 32.
Logo A tem 32 subconjuntos no total (contando o conjunto vazio e o próprio A).

Passo 4

Contando os subconjuntos próprios:
  • Por definição, subconjunto próprio é qualquer subconjunto exceto o próprio A.
  • Então basta tirar 1 (o conjunto A em si) do total:
\text{nº de subconjuntos próprios} = 2^5 - 1.ºó
  • Calculando:
2^5 - 1 = 32 - 1 = 31.
Portanto existem 31 subconjuntos próprios de A.

Passo 5

Contando os subconjuntos não-triviais:
  • Por definição (interpretação usada: não-trivial = nem vazio nem o conjunto todo), devemos excluir do total tanto o conjunto vazio quanto o conjunto A.
  • Logo:
\text{nº de subconjuntos não-triviais} = 2^5 - 2.ºã
  • Calculando:
2^5 - 2 = 32 - 2 = 30.
Uma outra forma equivalente de ver isso é somar os subconjuntos de tamanho 1,2,3,4: \sum_{k=1}^{4} \binom{5}{k} = 30.

Resposta

31
30

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