Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas retangulares:
(5.1) (32,-3 raiz32).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas retangulares l(tfrac32, -tfrac3raiz32r) em coordenadas polares no intervalo principal [0,2pi). Vamos usar as fórmulas:
  • r = raizx^2+y^2;
  • theta = atan2(y,x) ajustando para ficar em [0,2pi).

Passo 2

Calculamos o raio r:
r = raizl(tfrac32r)^2 + l(-tfrac3raiz32r)^2 = raiztfrac94 + tfrac274 = raiztfrac364 = 3

Passo 3

Encontramos a tangente do ângulo:
tantheta = yx = -tfrac3raiz32tfrac32 = -raiz3
A referência de ângulo com tanalpha = raiz3 é alpha = tfracpi3.

Passo 4

Identificamos o quadrante: como x>0 e y<0, estamos no quarto quadrante. Então, para ficar em [0,2pi), escolhemos
theta = 2pi - pi3 = 6pi3 - pi3 = 5pi3

Passo 5

Portanto, as coordenadas polares principais do ponto são dadas por raio r=3 e ângulo theta=5pi/3.

Resposta

(3, 5\pi/3)

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