Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto simétrico de em relação:
(8.3) ao pólo.
Passo 1
A questão nos dá o ponto em coordenadas polares P e pede o ponto Q simétrico em relação ao pólo (origem). O conteúdo envolve entender que refletir em relação ao pólo corresponde a inverter o vetor posição, o que em coordenadas polares equivale a somar ao ângulo (para raio positivo) e também lembrar da não unicidade das coordenadas polares.
Passo 2
Sabendo que refletir em relação ao pólo troca o vetor por -OP, para um ponto dado por (r,,theta) com r>0 a imagem reflexa é (r,,theta+pi).
Passo 3
Aplicando em P(2,,tfracpi3) obtemos uma representação positiva de Q:
Q=(2,,tfracpi3+pi)=(2,,tfrac4pi3)
Como coordenadas polares não são únicas, podemos adicionar 2pi k ao ângulo sem mudar o ponto. Assim uma família de representações positivas é Q=(2,,tfrac4pi3+2pi k), kinZ
Passo 4
Além disso, usando raio negativo temos outra família equivalente. Se fixamos r=-2, basta ter
costheta=tfrac-1-2=tfrac12, sintheta=tfrac-raiz3-2=tfracraiz32, o que dá theta=tfracpi3+2pi k. Logo
Q=(-2,,tfracpi3+2pi k), kinZ
Resposta
Todas as representações polares de Q são Q=(2,,tfrac4pi3+2pi k),;kinZ
ou equivalente Q=(-2,,tfracpi3+2pi k),;kinZ.