Determine o conjunto solução e classifique os sistemas:
c3 a+5 b+2 c+d=4 -2 a+4 b-3 c+d=-2 6 a+7 b+c+d=-3 7 a+8 b+2 c-5 d=5

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações nas incógnitas a,b,c,d. O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação de Gauss para escalonar o sistema, encontrar o conjunto solução e, a partir disso, classificar o sistema como possível e determinado (única solução), possível indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução).

Passo 2

Começamos escrevendo a matriz aumentada e eliminamos o coeficiente de a nas equações 2, 3 e 4 por combinações lineares. Inicialmente:
3 & 5 & 2 & 1 & |! & 4 [6pt] -2 & 4 & -3 & 1 & |! & -2 [6pt] 6 & 7 & 1 & 1 & |! & -3 [6pt] 7 & 8 & 2 & -5 & |! & 5
Fazendo as operações que zeram o primeiro elemento de cada uma das linhas 2, 3 e 4, obtemos um sistema escalonado em a. Depois de limpar denominadores multiplicando as linhas 2 e 4 por 3, fica:
3 & 5 & 2 & 1 & |! & 4 [4pt] 0 & 22 & -5 & 5 & |! & 2 [4pt] 0 & -3 & -3 & -1 & |! & -11 [4pt] 0 & -11 & -8 & -22 & |! & -13 ]

Passo 3

Agora eliminamos o coeficiente de b nas linhas 3 e 4 usando a segunda linha como pivô. Após essas operações e novo escalonamento (seguido de multiplicação das linhas 3 e 4 por 22 para retirar frações), chegamos a
3a + 5b + 2c + d = 4,[4pt] 22b - 5c + 5d = 2,[4pt] -81c - 7d = -236,[4pt] -231c - 429d = -264 ]

Passo 4

Eliminamos c entre a terceira e a quarta equação: multiplicando a terceira por tfrac23181 e subtraindo da quarta, sobra uma equação só em d:
-d = 1 Longrightarrow d = -1

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
  • Na terceira equação: -81c -7(-1) = -236 implies -81c +7 = -236 implies c = 3.
  • Na segunda: 22b -5cdot3 +5(-1) = 2 implies 22b -15 -5 = 2 implies b = 1.
  • Na primeira: 3a +5cdot1 +2cdot3 +(-1) = 4 implies 3a +5 +6 -1 = 4 implies a = -2.

Resposta

O conjunto solução é
(a,b,c,d)=(-2,,1,,3,,-1)
e o sistema é possível e determinado (única solução).

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