Determine o conjunto solução das equações:
b) \sqrt{2^{x^{2}-x-9}}=\sqrt[4]{8^{x-7}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\sqrt{2^{x^{2}-x-9}}=\sqrt[4]{8^{x-7}}
e pede o conjunto solução, ou seja, todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes são:
  • A expressão do lado esquerdo é a raiz quadrada de 2^{x^{2}-x-9}.
  • A expressão do lado direito é a raiz quarta de 8^{x-7}.
  • É necessário encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Verificação do domínio (onde a expressão está bem definida).
Para todo t\in\mathbb{R} vale 2^{t}>0 e 8^{t}>0. Portanto tanto 2^{x^{2}-x-9} quanto 8^{x-7} são positivos para todo x. As raízes de índice par aplicadas a números positivos são bem definidas (e retornam o valor principal, não negativo). Conclusão: a equação está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há restrições de domínio.

Passo 3

Transformar raízes em expoentes racionais usando a identidade (a^{b})^{c}=a^{bc} e que a raiz n-ésima corresponde a potência de expoente 1/n:
  • A raiz quadrada é potência 1/2, então
\sqrt{2^{x^{2}-x-9}}=\left(2^{x^{2}-x-9}\right)^{1/2}=2^{\frac{x^{2}-x-9}{2}}.
  • A raiz quarta é potência 1/4, então
\sqrt[4]{8^{x-7}}=\left(8^{x-7}\right)^{1/4}=8^{\frac{x-7}{4}}.

Passo 4

Reescrever 8 como potência de 2 (porque trabalhar com a mesma base facilita): 8=2^{3}. Então
8^{\frac{x-7}{4}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{x-7}{4}}=2^{\frac{3(x-7)}{4}}.

Passo 5

Agora a equação ficou (ambos lados com base 2):
2^{\frac{x^{2}-x-9}{2}}=2^{\frac{3(x-7)}{4}}.
A função exponencial 2^{t} é injetora (para base 2>0, 2\neq1, se 2^{A}=2^{B} então A=B). Portanto podemos igualar os expoentes:
\frac{x^{2}-x-9}{2}=\frac{3(x-7)}{4}.

Passo 6

Resolver a equação dos expoentes. Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar denominadores:
4\cdot\frac{x^{2}-x-9}{2}=4\cdot\frac{3(x-7)}{4}
2(x^{2}-x-9)=3(x-7).
Expandindo e agrupando termos para formar um polinômio quadrático:
2x^{2}-2x-18=3x-21
2x^{2}-2x-18-3x+21=0
2x^{2}-5x+3=0.
Resolver a quadrática. Tentar fatorar: buscamos dois números cujo produto seja 2\cdot3=6 e cuja soma seja -5. Esses números são -2 e -3, então a fatoração é
2x^{2}-5x+3=(2x-3)(x-1).
Assim as raízes são dadas por 2x-3=0 ou x-1=0, ou seja
x=\frac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 7

Checagem das soluções na equação original (sempre bom confirmar porque trabalhamos com potências/raízes principais).
  • Para x=1:
    • x^{2}-x-9=1-1-9=-9. Então o lado esquerdo vale 2^{-9/2}.
    • x-7=1-7=-6. Então o lado direito vale 8^{-6/4}=8^{-3/2}=(2^{3})^{-3/2}=2^{-9/2}.
    • Ambos os lados são iguais, logo x=1 é solução.
  • Para x=\dfrac{3}{2}:
    • x^{2}-x-9=\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}-9=\dfrac{9-6-36}{4}=-\dfrac{33}{4}. Lado esquerdo: 2^{-\tfrac{33}{8}}.
    • x-7=\dfrac{3}{2}-7=-\dfrac{11}{2}. Lado direito: 8^{-\tfrac{11}{8}}=(2^{3})^{-\tfrac{11}{8}}=2^{-\tfrac{33}{8}}.
    • Iguais, logo x=\dfrac{3}{2} é solução.
Ambas as raízes obtidas são válidas.

Resposta

x=1
x=\dfrac{3}{2}

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