Determine o conjunto solução das equações:
b)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede o conjunto solução, ou seja, todos os valores de
que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes são:
- A expressão do lado esquerdo é a raiz quadrada de
. - A expressão do lado direito é a raiz quarta de
. - É necessário encontrar todos os
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Verificação do domínio (onde a expressão está bem definida).
Para todo vale
e
. Portanto tanto
quanto
são positivos para todo
. As raízes de índice par aplicadas a números positivos são bem definidas (e retornam o valor principal, não negativo). Conclusão: a equação está definida para todo
. Não há restrições de domínio.
Para todo
Passo 3
Transformar raízes em expoentes racionais usando a identidade
e que a raiz
-ésima corresponde a potência de expoente
:
- A raiz quadrada é potência
, então
- A raiz quarta é potência
, então
Passo 4
Reescrever
como potência de
(porque trabalhar com a mesma base facilita):
. Então
Passo 5
Agora a equação ficou (ambos lados com base
):
A função exponencial
é injetora (para base
,
, se
então
). Portanto podemos igualar os expoentes:
Passo 6
Resolver a equação dos expoentes. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandindo e agrupando termos para formar um polinômio quadrático:
Resolver a quadrática. Tentar fatorar: buscamos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, então a fatoração é
Assim as raízes são dadas por
ou
, ou seja
Passo 7
Checagem das soluções na equação original (sempre bom confirmar porque trabalhamos com potências/raízes principais).
-
Para
: -
. Então o lado esquerdo vale . -
. Então o lado direito vale . - Ambos os lados são iguais, logo
é solução.
-
-
Para
: -
. Lado esquerdo: . -
. Lado direito: . - Iguais, logo
é solução.
-
Ambas as raízes obtidas são válidas.