Determine o conjunto solução das equações:
d) 3^{2 \mathrm{x}+1}+5.3^{\mathrm{x}}=2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução da equação
3^{2x+1}+5\cdot 3^{x}=2.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e queremos todos os valores reais x que satisfazem a equação.
  • A base 3 é positiva e diferente de 1, portanto 3^{x} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} e tem sempre valor positivo.
  • A tarefa é encontrar os valores de x que tornam verdadeira a igualdade acima.

Passo 2

Vamos manipular a expressão exponencial para perceber uma substituição útil. Use a propriedade das potências
a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\quad\text{e}\quad a^{mn}=(a^{m})^{n}.
Aplicando em 3^{2x+1} obtemos
3^{2x+1}=3^{1}\cdot 3^{2x}=3\cdot(3^{x})^{2}.
Isso nos mostra que a equação pode ser reescrita em termos de 3^{x}.

Passo 3

Faça a substituição y=3^{x}. Como observado, y>0 para todo x\in\mathbb{R}. Substituindo na equação original:
3\cdot(3^{x})^{2}+5\cdot 3^{x}=2
virará
3y^{2}+5y=2.
Colocando em forma padrão:
3y^{2}+5y-2=0.

Passo 4

Agora resolvemos a quadrática 3y^{2}+5y-2=0. Use a fórmula de Bhaskara; primeiro calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 5^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49.
Como \Delta=49, as raízes são
y=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{-5\pm 7}{6}.
Portanto as duas soluções para y são
y_{1}=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \qquad y_{2}=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2.

Passo 5

Agora retornamos à relação com y=3^{x}. Como 3^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a solução y_{2}=-2 é impossível e deve ser descartada. A única candidata é
y=\frac{1}{3}.

Passo 6

Resolvendo 3^{x}=\dfrac{1}{3}. Note que \dfrac{1}{3}=3^{-1}. Como a função exponencial de base 3 é injetora (ou usando logaritmo na base 3), podemos igualar os expoentes:
3^{x}=3^{-1}\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Alternativamente, x=\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-1.

Passo 7

Cheque rápido substituindo x=-1 na equação original:
3^{2(-1)+1}+5\cdot 3^{-1}=3^{-1}+5\cdot 3^{-1}=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=\frac{6}{3}=2,
logo x=-1 satisfaz a equação.

Resposta

x=-1

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