Determine o conjunto solução das equações:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto solução da equação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
e queremos todos os valores reais que satisfazem a equação. - A base
é positiva e diferente de , portanto está bem definida para todo e tem sempre valor positivo. - A tarefa é encontrar os valores de
que tornam verdadeira a igualdade acima.
Passo 2
Vamos manipular a expressão exponencial para perceber uma substituição útil. Use a propriedade das potências
Aplicando em
obtemos
Isso nos mostra que a equação pode ser reescrita em termos de
.
Passo 3
Faça a substituição
. Como observado,
para todo
. Substituindo na equação original:
virará
Colocando em forma padrão:
Passo 4
Agora resolvemos a quadrática
. Use a fórmula de Bhaskara; primeiro calcule o discriminante:
Como
, as raízes são
Portanto as duas soluções para
são
Passo 5
Agora retornamos à relação com
. Como
para todo
, a solução
é impossível e deve ser descartada. A única candidata é
Passo 6
Resolvendo
. Note que
. Como a função exponencial de base
é injetora (ou usando logaritmo na base
), podemos igualar os expoentes:
Alternativamente,
.
Passo 7
Cheque rápido substituindo
na equação original:
logo
satisfaz a equação.