Uma possível parametrização para o segmento de reta com início no ponto A=(5,0,2) e término no ponto B=(2,-3,1) é
(A) \left\{\begin{array}{l}x=5-3 t \\\ y=-3 t \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=5+2 t \\\ y=-3 t \\\ z=2+t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(C) \left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\\ y=-3+3 t, 0 \leq t \leq 1 . \\\ z=1+t\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{l}x=-3+5 t \\\ y=-3 \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=5+3 t \\\ y=3 t \\\ z=2+t\end{array} \quad, 0 \leq t \leq 1\right..
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá os pontos iniciais e finais do segmento:
A=(5,0,2).
B=(2,-3,1).
A pergunta: qual das parametrizações fornecidas descreve o segmento de reta que começa em A e termina em B, com t variando em 0\le t\le1.
Passo 2
Vamos aprender a ideia básica (muito usada em provas): uma parametrização natural de um segmento de reta que vai de A até B é obter a posição como a soma do ponto inicial mais um múltiplo do vetor dirigido AB. Em fórmula vetorial:
\mathbf{B}-\mathbf{A} é o vetor que aponta de A para B; é a direção e o comprimento do segmento.
Multiplicar por t com 0\le t\le1 faz com que, quando t=0, estejamos em A, e quando t=1, estejamos em B; para t entre 0 e 1 percorremos o segmento entre os pontos.
Passo 3
Calcular o vetor \mathbf{B}-\mathbf{A} componente a componente:
que coincide exatamente com a parametrização encontrada. As outras alternativas têm sinais, constantes ou coeficientes diferentes (por exemplo têm x=5+2t, ou y=-3 constante, ou sinais invertidos), portanto não representam o segmento de A a B.