Uma possível parametrização para o segmento de reta com início no ponto A=(5,0,2) e término no ponto B=(2,-3,1) é
(A) \left\{\begin{array}{l}x=5-3 t \\\ y=-3 t \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=5+2 t \\\ y=-3 t \\\ z=2+t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(C) \left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\\ y=-3+3 t, 0 \leq t \leq 1 . \\\ z=1+t\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{l}x=-3+5 t \\\ y=-3 \\\ z=2-t\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=5+3 t \\\ y=3 t \\\ z=2+t\end{array} \quad, 0 \leq t \leq 1\right..
(F) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá os pontos iniciais e finais do segmento:
  • A=(5,0,2).
  • B=(2,-3,1).
A pergunta: qual das parametrizações fornecidas descreve o segmento de reta que começa em A e termina em B, com t variando em 0\le t\le1.

Passo 2

Vamos aprender a ideia básica (muito usada em provas): uma parametrização natural de um segmento de reta que vai de A até B é obter a posição como a soma do ponto inicial mais um múltiplo do vetor dirigido AB. Em fórmula vetorial:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}),
onde t é o parâmetro. Explicando cada coisa:
  • \mathbf{A} é o vetor posição do ponto inicial A.
  • \mathbf{B}-\mathbf{A} é o vetor que aponta de A para B; é a direção e o comprimento do segmento.
  • Multiplicar por t com 0\le t\le1 faz com que, quando t=0, estejamos em A, e quando t=1, estejamos em B; para t entre 0 e 1 percorremos o segmento entre os pontos.

Passo 3

Calcular o vetor \mathbf{B}-\mathbf{A} componente a componente:
\mathbf{B}-\mathbf{A}=(2-5,\,-3-0,\,1-2)=(-3,\,-3,\,-1).
Ou seja, para ir de A a B deve-se “andar” -3 na direção x, -3 na direção y e -1 na direção z.

Passo 4

Substituindo na fórmula \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A})\) componente a componente: \[\begin{cases} x(t)=5 + t\cdot(-3)=5-3t,\\[4pt] y(t)=0 + t\cdot(-3)=-3t,\\[4pt] z(t)=2 + t\cdot(-1)=2-t, \end{cases} \qquad 0\le t\le1.
Verificação rápida dos extremos:
  • Para t=0\]: \((x,y,z)=(5,0,2)=A.
  • Para t=1: (x,y,z)=(5-3,\, -3,\,2-1)=(2,-3,1)=B.
    Portanto essa parametrização descreve exatamente o segmento de A até B.]

Passo 5

Agora comparar com as alternativas dadas: a alternativa (A) é
\begin{cases} x=5-3t,\\\ y=-3t,\\\ z=2-t, \end{cases}\quad 0\le t\le1,
que coincide exatamente com a parametrização encontrada. As outras alternativas têm sinais, constantes ou coeficientes diferentes (por exemplo têm x=5+2t, ou y=-3 constante, ou sinais invertidos), portanto não representam o segmento de A a B.

Resposta

(A)

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