Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função (ou seja, todos os pontos
onde está definida). - Fazer o esboço do domínio (uma descrição geométrica e como desenhar).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - Para que a raiz quadrada real exista, a quantidade dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Passo 2
Escrever a condição de existência da raiz (regra básica).
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo, portanto:
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo, portanto:
Essa desigualdade é a condição que define o domínio. Vamos manipulá-la para uma forma mais clara.
Passo 3
Rearranjar a desigualdade para isolar
(passo algébrico simples).
Somando aos dois lados e reordenando:
Somando
Ou equivalentemente:
Essa forma é útil porque mostra diretamente, para cada par
, quais valores de
são permitidos.
Passo 4
Expressar os limites em
para um par fixo
.
Da desigualdade segue que
Da desigualdade
Aqui usei a propriedade de que, para
,
equivale a
. Note que
sempre, então a raiz está bem definida.
Passo 5
Reescrever o domínio como conjunto (descrição formal).
O domínio é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a desigualdade, ou seja:
O domínio
Outra forma equivalente, escrevendo a superfície de contorno, é
onde a superfície limite é dada pela equação
Passo 6
Interpretar geometricamente a região (para o esboço).
- A superfície
é um hiperbolóide de duas folhas com eixo no sentido do eixo . Essa superfície é a fronteira do domínio. - Pontos com
: então , e a condição é automaticamente satisfeita para todo . Portanto, para o corte transversal é o plano inteiro — isto é, o domínio contém a faixa (lâmina) inteira entre e . - Pontos com
: então e a condição fica
ou seja, no plano paralelo ao plano
a seção é o conjunto de pontos fora do círculo de raio
(um anel exterior), de modo que perto do eixo há um buraco que cresce com
.
- Em conjunto, isso descreve uma região conectada em torno da origem que se “estreita” até formar as duas folhas limite do hiperbolóide quando
aumenta; geometricamente é a região interna ao hiperbolóide de duas folhas .
Passo 7
Como fazer um esboço prático (passo a passo para desenhar à mão)
- Desenhe os três eixos
(horizontal), (um pouco inclinado) e (outro eixo), com origem no centro. - No plano
trace a curva limite (uma hipérbole de duas folhas com vértices em ). Essa é a seção do hiperbolóide no plano . - Rotacione mentalmente a hipérbole em torno do eixo
(porque a equação é simétrica em ) para obter o hiperbolóide de duas folhas completo. - Sombreie a região que fica “entre” as folhas — ou seja, o conjunto de pontos mais próximos ao eixo
do que a superfície limite, que inclui a faixa inteira e, para , apenas os pontos fora do círculo central no plano . - Opcional: desenhe cortes em planos
constante para ver os círculos (quando são regiões fora de um círculo; quando é todo o plano).
Passo 8
Observações finais e verificação por exemplos numéricos
- Verificação rápida: o ponto
pertence ao domínio porque . - O ponto
não pertence porque . - Para
tem-se , logo pertence; isso mostra que para qualquer são permitidos.
Resposta
Esboço: região limitada pela superfície
(hiperbolóide de duas folhas, eixo no eixo
), contendo toda a faixa
(seções
completas) e, para
, as seções são os pontos fora do círculo de raio
no plano
.