Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y, z)=\sqrt{1-x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}+y^{2}+z^{2}} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função (ou seja, todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} onde f está definida).
  • Fazer o esboço do domínio (uma descrição geométrica e como desenhar).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é 1-x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Para que a raiz quadrada real exista, a quantidade dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Escrever a condição de existência da raiz (regra básica).
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo, portanto:
1 - x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 0.
Essa desigualdade é a condição que define o domínio. Vamos manipulá-la para uma forma mais clara.

Passo 3

Rearranjar a desigualdade para isolar x^{2} (passo algébrico simples).
Somando x^{2} aos dois lados e reordenando:
y^{2}+z^{2}+1 \ge x^{2}.
Ou equivalentemente:
x^{2} \le 1 + y^{2} + z^{2}.
Essa forma é útil porque mostra diretamente, para cada par (y,z), quais valores de x são permitidos.

Passo 4

Expressar os limites em x para um par fixo (y,z).
Da desigualdade \,x^{2}\le 1+y^{2}+z^{2}\, segue que
-\sqrt{1+y^{2}+z^{2}}\le x\le \sqrt{1+y^{2}+z^{2}}.
Aqui usei a propriedade de que, para A\ge 0, x^{2}\le A equivale a -\sqrt{A}\le x\le\sqrt{A}. Note que 1+y^{2}+z^{2}\ge 1>0 sempre, então a raiz está bem definida.

Passo 5

Reescrever o domínio como conjunto (descrição formal).
O domínio D é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem a desigualdade, ou seja:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}\le 1+y^{2}+z^{2}\}.
Outra forma equivalente, escrevendo a superfície de contorno, é
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y^{2}-z^{2}\le 1\},
onde a superfície limite é dada pela equação
x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.

Passo 6

Interpretar geometricamente a região (para o esboço).
  • A superfície x^{2}-y^{2}-z^{2}=1 é um hiperbolóide de duas folhas com eixo no sentido do eixo x. Essa superfície é a fronteira do domínio.
  • Pontos com |x|\le 1: então x^{2}-1\le 0, e a condição y^{2}+z^{2}\ge x^{2}-1 é automaticamente satisfeita para todo y,z. Portanto, para -1\le x\le 1 o corte transversal é o plano inteiro (y,z)\in\mathbb{R}^{2} — isto é, o domínio contém a faixa (lâmina) inteira entre x=-1 e x=1.
  • Pontos com |x|>1: então x^{2}-1>0 e a condição fica
y^{2}+z^{2}\ge x^{2}-1,
ou seja, no plano paralelo ao plano yz a seção é o conjunto de pontos fora do círculo de raio \sqrt{x^{2}-1} (um anel exterior), de modo que perto do eixo há um buraco que cresce com |x|.
  • Em conjunto, isso descreve uma região conectada em torno da origem que se “estreita” até formar as duas folhas limite do hiperbolóide quando |x| aumenta; geometricamente é a região interna ao hiperbolóide de duas folhas x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.

Passo 7

Como fazer um esboço prático (passo a passo para desenhar à mão)
  1. Desenhe os três eixos x (horizontal), y (um pouco inclinado) e z (outro eixo), com origem no centro.
  2. No plano z=0 trace a curva limite x^{2}-y^{2}=1 (uma hipérbole de duas folhas com vértices em x=\pm1). Essa é a seção do hiperbolóide no plano z=0.
  3. Rotacione mentalmente a hipérbole em torno do eixo x (porque a equação é simétrica em y,z) para obter o hiperbolóide de duas folhas completo.
  4. Sombreie a região que fica “entre” as folhas — ou seja, o conjunto de pontos mais próximos ao eixo x do que a superfície limite, que inclui a faixa inteira -1\le x\le 1 e, para |x|>1, apenas os pontos fora do círculo central no plano yz.
  5. Opcional: desenhe cortes em planos x= constante para ver os círculos (quando |x|>1 são regiões fora de um círculo; quando |x|\le1 é todo o plano).

Passo 8

Observações finais e verificação por exemplos numéricos
  • Verificação rápida: o ponto (0,0,0) pertence ao domínio porque 1-0+0+0=1\ge0.
  • O ponto (2,0,0) não pertence porque 1-4+0+0=-3<0.
  • Para (x,y,z)=(1,10,0) tem-se 1-1+100+0=100\ge0, logo pertence; isso mostra que para x=1 qualquer y,z são permitidos.

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}\le 1+y^{2}+z^{2}\}.
Esboço: região limitada pela superfície x^{2}-y^{2}-z^{2}=1 (hiperbolóide de duas folhas, eixo no eixo x), contendo toda a faixa -1\le x\le 1 (seções yz completas) e, para |x|>1, as seções são os pontos fora do círculo de raio \sqrt{x^{2}-1} no plano yz.

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