O volume,
, de uma superficie de revolução de uma curva
, em torno do eixo
é dada por
. Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cúbica
, em tomo do eixo
sólido de revolução da parábola cúbica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da parábola cúbica
, no intervalo de
a
, em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula que envolve integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula fornecida:
Aqui,
e
são as funções que delimitam a área que está sendo girada em torno do eixo de rotação. No nosso caso, temos apenas uma função
e o eixo de rotação
. Podemos pensar nisso como duas “funções”: a curva
e a linha
.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
-
(a função superior) -
(a função inferior, que representa o eixo de rotação)
Assim, a fórmula para o volume fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente para cada termo:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das integrais:
Finalmente, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.