O volume, v, de uma superficie de revolução de uma curva f(x) <= g(x), a <= x <= b, em torno do eixo y=c é dada por v=pi integrala^b[g(x)-f(x)]^2 d x. Obtenha o volume da(o):
sólido de revolução da parábola cúbica y=x^3,-2 <= x <= 2, em tomo do eixo y=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da parábola cúbica y = x^3 , no intervalo de x = -2 a x = 2 , em torno do eixo y = -1 . Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula fornecida:
v = pi integrala^b [g(x) - f(x)]^2 , dx
Aqui, g(x) e f(x) são as funções que delimitam a área que está sendo girada em torno do eixo de rotação. No nosso caso, temos apenas uma função y = x^3 e o eixo de rotação y = -1 . Podemos pensar nisso como duas “funções”: a curva y = x^3 e a linha y = -1 .

Passo 3

Vamos identificar g(x) e f(x) :
  • g(x) = x^3 (a função superior)
  • f(x) = -1 (a função inferior, que representa o eixo de rotação)
Assim, a fórmula para o volume fica:
v = pi integral-2^2 [x^3 - (-1)]^2 , dx = pi integral-2^2 (x^3 + 1)^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos expandir (x^3 + 1)^2 :
(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1
Então, nossa integral fica:
v = pi integral-2^2 (x^6 + 2x^3 + 1) , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral separadamente para cada termo:
  1. Integral de x^6 :
integral-2^2 x^6 , dx = [ x^77 ]-2^2 = 2^77 - (-2)^77 = 1287 - ( -1287 ) = 2567
  1. Integral de 2x^3 :
integral-2^2 2x^3 , dx = 2 [ x^44 ]-2^2 = 2 ( 164 - 164 ) = 2 (4 - 4) = 0
  1. Integral de 1 :
integral-2^2 1 , dx = [ x ]-2^2 = 2 - (-2) = 4

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:
2567 + 0 + 4 = 2567 + 287 = 2847
Finalmente, multiplicamos pelo pi :
v = pi times 2847 = 2847 pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é 2847 pi unidades cúbicas.

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