Usando as propriedades dos logaritmos, expanda as expressões abaixo.
(a) log 2(x+y)
(e) log 2^10
(i) log 3(x raizy)
(m) log (u^3v^2 raizw)
(b) log 3(2 y)
(f) log raiz3 x
(j) log (x y)^7
(c) log (x(x-2))
(g) log 2(x^2)
(k) log 2 raiz[3]x^2 y
(n) log raiza raizb raizc
(d) log 2 x2
(h) log 6(x^2 y^3 z)
(l) log x(x^3y^2 z^1 / 3)
(o) log (10^xx^2(x^2+1)(x+2))

Passo 1

O enunciado pede para expandir várias expressões do tipo log usando as propriedades de soma, diferença e expoente em logaritmos.

Passo 2

As propriedades principais que vamos usar são:
  1. Produto: logb(MN)=logb M+logb N
  2. Quociente: logb!l(tfracMNr)=logb M-logb N
  3. Expoente: logb(M^k)=k,logb M
  4. Raiz: raiz[n]M=M^1/nimplies logb!l(raiz[n]Mr)=tfrac1nlogb M

Passo 3

Aplicando essas regras às expressões (a)–(e):
(a) log2(x+y) não se separa em soma de logaritmos (não é produto).
(b) log3(2y)=log32+log3y
(c) log l(x(x-2)r)=log x+log(x-2)
(d) log2!l(tfracx2r)=log2x-log22=log2x-1
(e) log(2^10)=10,log2

Passo 4

Aplicando às expressões (f)–(j):
(f) log(raiz3,x)=log(raiz3)+log x=tfrac12log3+log x
(g) log2(x^2)=2,log2x
(h) log6(x^2y^3z)=2,log6x+3,log6y+log6z
(i) log3l(xraizyr)=log3x+log3(y^1/2)=log3x+tfrac12log3y
(j) logl((xy)^7r)=7,log(xy)=7log x+7log y

Passo 5

Aplicando às expressões (k)–(o):
(k) log2raiz[3]x^2y=log2((x^2y)^1/3)=tfrac13l(2log2x+log2yr)=tfrac23log2x+tfrac13log2y
(l) logx!l(tfracx^3y^2z^1/3r)=3logxx-2logxy-tfrac13logxz=3-2logxy-tfrac13logxz
(m) log!l(tfracu^3v^2raizwr)=3log u-l(2log v+tfrac12log wr)=3log u-2log v-tfrac12log w
(n) log!l(raizaraizbraizcr)=tfrac12log(araizbraizc)=tfrac12l[log a+tfrac12log(braiz c)r]
=tfrac12log a+tfrac14l[log b+tfrac12log cr]=tfrac12log a+tfrac14log b+tfrac18log c
(o) log!l(tfrac10^xx^2(x^2+1)(x+2)r)=log(10^x)-log(x^2)-log(x^2+1)-log(x+2)
=xlog10-2log x-log(x^2+1)-log(x+2)=x-2log x-log(x^2+1)-log(x+2)

Resposta

(a) não se expande (não é produto)
(b) log32+log3y
(c) log x+log(x-2)
(d) log2x-1
(e) 10log2
(f) tfrac12log3+log x
(g) 2log2x
(h) 2log6x+3log6y+log6z
(i) log3x+tfrac12log3y
(j) 7log x+7log y
(k) tfrac23log2x+tfrac13log2y
(l) 3-2logxy-tfrac13logxz
(m) 3log u-2log v-tfrac12log w
(n) tfrac12log a+tfrac14log b+tfrac18log c
(o) x-2log x-log(x^2+1)-log(x+2)

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