Determine o conjunto solução das equações.
5^{2 x^{2}-3 x-2}=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação exponencial
5^{2x^{2}-3x-2}=1.
O que a questão pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de x que satisfazem essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A base da potência é 5 (ou seja, \,5>0 e 5\neq1).
  • O expoente é a expressão quadrática 2x^{2}-3x-2.

Passo 2

Entender a propriedade principal que vamos usar: para uma base a positiva com a\neq1, a equação
a^{y}=1
é satisfeita somente quando y=0.
Explicação didática (por que isso é verdade):
  • Se a>1, a função y\mapsto a^{y} é estritamente crescente e a^{0}=1. Como é injetora, só existe um y tal que a^{y}=1, e esse y é 0.
  • Se 0<a<1, a função y\mapsto a^{y} é estritamente decrescente e também a^{0}=1, novamente implicando que somente y=0 resolve a^{y}=1.
  • Outros casos que dão a^{y}=1 (por exemplo a=1 que permite qualquer y, ou a=-1 com y inteiro par) não se aplicam aqui porque a base dada é 5.
Portanto, como a base é 5 (com 5>0 e 5\neq1), a única possibilidade é que o expoente seja zero:
2x^{2}-3x-2=0.

Passo 3

Agora vamos resolver a equação quadrática
2x^{2}-3x-2=0.
Vou mostrar duas formas comuns de resolver quadrática: fatoração (quando possível) e fórmula de Bhaskara.
Primeiro, tentaremos fatorar em inteiros. Procuramos fatores de 2\cdot(-2)=-4 que somem -3. Esses fatores são -4 e 1. Usando técnica de fatoração por agrupamento:
2x^{2}-3x-2 = 2x^{2}-4x+x-2.

Passo 4

Continuando a fatoração por agrupamento:
2x^{2}-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2) = (2x+1)(x-2).
Logo a quadrática se escreve
2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2).

Passo 5

Pelo princípio do produto nulo, para que (2x+1)(x-2)=0 é necessário que pelo menos um dos fatores seja zero. Assim obtemos as duas equações lineares:
2x+1=0 \quad\text{ou}\quad x-2=0.
Resolvendo cada uma:
  • De 2x+1=0 vem 2x=-1 e portanto x=-\dfrac{1}{2}.
  • De x-2=0 vem x=2.

Passo 6

Verificação rápida (substituir na equação original para checar):
  • Para x=-\dfrac{1}{2}:
2x^{2}-3x-2 = 2\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-3\left(-\tfrac{1}{2}\right)-2 =2\cdot\tfrac{1}{4}+ \tfrac{3}{2}-2 =\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}-2=0,
logo 5^{0}=1, satisfaz.
  • Para x=2:
2x^{2}-3x-2 = 2\cdot 4 -3\cdot 2 -2 =8-6-2=0,
logo 5^{0}=1, também satisfaz.
Ambos os valores conferem com a equação original.

Resposta

\left\{-\dfrac{1}{2},\,2\right\}

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