Determine o conjunto solução das equações.
Passo 1
O enunciado fornece a equação exponencial
O que a questão pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de
que satisfazem essa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A base da potência é
(ou seja, e ). - O expoente é a expressão quadrática
.
Passo 2
Entender a propriedade principal que vamos usar: para uma base
positiva com
, a equação
é satisfeita somente quando
.
Explicação didática (por que isso é verdade):
- Se
, a função é estritamente crescente e . Como é injetora, só existe um tal que , e esse é . - Se
, a função é estritamente decrescente e também , novamente implicando que somente resolve . - Outros casos que dão
(por exemplo que permite qualquer , ou com inteiro par) não se aplicam aqui porque a base dada é .
Portanto, como a base é
(com
e
), a única possibilidade é que o expoente seja zero:
Passo 3
Agora vamos resolver a equação quadrática
Vou mostrar duas formas comuns de resolver quadrática: fatoração (quando possível) e fórmula de Bhaskara.
Primeiro, tentaremos fatorar em inteiros. Procuramos fatores de
que somem
. Esses fatores são
e
. Usando técnica de fatoração por agrupamento:
Passo 4
Continuando a fatoração por agrupamento:
Logo a quadrática se escreve
Passo 5
Pelo princípio do produto nulo, para que
é necessário que pelo menos um dos fatores seja zero. Assim obtemos as duas equações lineares:
Resolvendo cada uma:
- De
vem e portanto . - De
vem .
Passo 6
Verificação rápida (substituir na equação original para checar):
- Para
:
logo
, satisfaz.
- Para
:
logo
, também satisfaz.
Ambos os valores conferem com a equação original.