Determine o conjunto solução das equações.
\left(2^{x}\right)^{x-1}=4

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
\left(2^{x}\right)^{x-1}=4.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x (assume-se x\in\mathbb{R}).
  • A expressão envolve potências iteradas: primeiro 2^{x}, depois essa quantidade elevada a x-1.
  • O lado direito é o número 4.

Passo 2

Regra de potência importante que vamos usar: para quaisquer reais a>0 e b,c, vale
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}.
Explicação didática: elevar uma potência a outra é o mesmo que multiplicar os expoentes. Exemplo simples: \bigl(3^{2}\bigr)^{4}=3^{2\cdot4}=3^{8}.

Passo 3

Aplicando a regra ao lado esquerdo da equação, com a=2, b=x e c=x-1, obtemos
\left(2^{x}\right)^{x-1}=2^{x(x-1)}.
Portanto a equação original torna-se
2^{x(x-1)}=4.

Passo 4

Escrever o 4 como potência de base 2: sabemos que
4=2^{2}.
Assim a equação fica
2^{x(x-1)}=2^{2}.
Justificativa para igualar expoentes: a função t\mapsto 2^{t} é estritamente crescente (e nunca zero), então se 2^{u}=2^{v} para u,v\in\mathbb{R} necessariamente u=v. Logo podemos igualar os expoentes.

Passo 5

Igualando expoentes obtemos a equação quadrática
x(x-1)=2.
Desenvolvendo,
x^{2}-x-2=0.

Passo 6

Resolver a quadrática por fatoração. Procuramos dois números cujo produto é -2 e soma é -1. Esses números são -2 e 1. Logo
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são
x=2\quad\text{ou}\quad x=-1.

Passo 7

Verificação substituindo na equação original.
Para x=2:
\left(2^{2}\right)^{2-1}=\bigl(4\bigr)^{1}=4,
ok.
Para x=-1:
\left(2^{-1}\right)^{-1-1}=\left(2^{-1}\right)^{-2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4,
também ok.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=2
x=-1

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