Determine o conjunto solução das inequações:
\frac{1-x}{x^{2}}<\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a inequação
\frac{1 - x}{x^{2}} < \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}.
O conteúdo é inequação racional: vamos reunir tudo num só lado, colocar sobre denominador comum, fatorar e estudar o sinal da expressão obtida.

Passo 2

Subtraindo o lado direito e colocando tudo num único membro, temos
\frac{1 - x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} < 0.
Primeiro combine os dois primeiros termos sobre x^{2}:
\frac{1 - x - 2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} = \frac{-1 - x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}.
Agora passe tudo para o denominador x^{3}:
\frac{-1 - x}{x^{2}} = \frac{-(1 + x)\,x}{x^{3}} \quad\text{e}\quad \frac{2}{x^{3}} \,\text{já tem denominação }x^{3},áçã
logo
\frac{-(1 + x)\,x + 2}{x^{3}} = \frac{-\bigl(x^{2} + x - 2\bigr)}{x^{3}}.
A inequação fica
\frac{-(x^{2} + x - 2)}{x^{3}} < 0.

Passo 3

Fatore o polinômio do numerador:
x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + 2).
Então
\frac{-(x - 1)(x + 2)}{x^{3}} < 0.
Multiplicando numerador e denominador por -1 (que inverte o sinal da desigualdade), obtemos
\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{3}} > 0,
com domínio x \neq 0.

Passo 4

Identifique os pontos que anulam o numerador e o denominador:
\text{zeros do numerador: }x = 1,\;-2, \quad \text{ponto de descontinuidade: }x = 0.
Isso divide a reta em quatro intervalos: (-\infty,-2), (-2,0), (0,1) e (1,\infty).

Passo 5

Analise o sinal de cada fator em cada intervalo:
Em (-\infty,-2): x-1<0, x+2<0, x^{3}<0 ⇒ produto (x-1)(x+2) é positivo e divisão por x^{3}<0 dá negativo ⇒ desigualdade não vale.
Em (-2,0): x-1<0, x+2>0, x^{3}<0 ⇒ produto (x-1)(x+2) é negativo e divisão por x^{3}<0 dá positivo ⇒ desigualdade vale.
Em (0,1): x-1<0, x+2>0, x^{3}>0 ⇒ produto negativo dividido por positivo é negativo ⇒ não vale.
Em (1,\infty): x-1>0, x+2>0, x^{3}>0 ⇒ produto positivo dividido por positivo é positivo ⇒ desigualdade vale.
Não incluímos os pontos -2, 0 e 1 pois ali a expressão é zero ou indefinida e a inequação é estrita.

Resposta

(-2,0)\,\cup\,(1,\infty).

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