Determine o conjunto solução das inequações:
\frac{-x^{2}+2 x}{3-x} \geq \frac{1}{3-x}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto-solução da inequação racional
\frac{-x^2+2x}{3-x}\ge\frac{1}{3-x}
O conteúdo envolve manipulação de frações algébricas e análise de sinal.

Passo 2

Subtraio \frac{1}{3-x} de ambos os lados e coloco tudo num único denominador:
\frac{-x^2+2x}{3-x}-\frac{1}{3-x} =\frac{-x^2+2x-1}{3-x}\ge0.

Passo 3

Fatorizo o numerador:
-\,x^2+2x-1=-(x-1)^2.
Daí a inequação vira
\frac{-(x-1)^2}{3-x}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{3-x}\le0.

Passo 4

Observamos que (x-1)^2\ge0 para todo x e só vale zero em x=1.
O sinal de \frac{(x-1)^2}{3-x} vem de 3-x:
  • Se x>3, então 3-x<0 e a fração é negativa.
  • Se x<3 e x\neq1, então 3-x>0 e a fração é positiva.
  • Em x=1 a fração é zero.
    A condição \le0 pede que a fração seja negativa ou zero.

Passo 5

Como x\neq3 (denominador não pode anular), juntamos os casos válidos:
ou x=1 (leva a zero) ou x>3 (leva a negativo).

Resposta

\{1\}\cup(3,\infty)

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