Determine o conjunto solução das inequações:
\frac{x^{2}-2 x}{x+1}>-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-2x}{x+1} > -1,
que é uma inequação racional. Vamos precisar isolar tudo num só quociente, estudar o sinal do numerador e do denominador e então determinar para quais x ela fica positiva. Note que o domínio exige x\neq -1.

Passo 2

Somamos 1 a ambos os lados, escrevendo tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{x^{2}-2x}{x+1} + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}-2x + (x+1)}{x+1} > 0.

Passo 3

No numerador, agrupamos termos semelhantes:
x^{2}-2x + x + 1 = x^{2} - x + 1.
Logo a inequação fica
\frac{x^{2} - x + 1}{x+1} > 0.

Passo 4

Analisamos o numerador x^{2}-x+1. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot1 = 1 - 4 = -3 < 0,
portanto x^{2}-x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como o numerador é sempre positivo, o sinal do quociente é o do denominador x+1. Para que o quociente seja >0, precisamos de
x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-1,
lembrando que x\neq -1.

Resposta

O conjunto–solução é \,(-1,\infty).)

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