Se A=\left\{x \in \mathbb{R}: x^{2}-3 x+2 \leq 0\right\} e \left\{x \in \mathbb{R}: 2 x^{2}-9 x+9>0\right\}, determine A \cap B.

Passo 1

O enunciado define os conjuntos
A = \{x\in\mathbb{R}:x^{2}-3x+2\le0\}
e
B = \{x\in\mathbb{R}:2x^{2}-9x+9>0\},
e pede A\cap B. Vamos usar o método de resolução de inequações quadráticas, encontrando primeiro os intervalos de validade de cada uma.

Passo 2

Para achar A, resolvemos
x^{2}-3x+2 \le 0.
Fatorando,
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2),
uma parábola que abre para cima. A condição \le0 vale entre as raízes x=1 e x=2. Logo
A = [1,2].

Passo 3

Para achar B, resolvemos
2x^{2}-9x+9 > 0.
O discriminante é
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot2\cdot9 = 81-72 = 9,
com raízes
x = \frac{9\pm3}{4} \;\Rightarrow\; x=\frac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=3.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a inequação >0 vale fora do intervalo entre as raízes. Assim
B = (-\infty,\tfrac{3}{2})\;\cup\;(3,\infty).

Passo 4

Agora intersectamos
A\cap B = [1,2]\;\cap\;\bigl((-\infty,\tfrac{3}{2})\cup(3,\infty)\bigr).
O único trecho comum é de 1 até \tfrac{3}{2}, incluindo 1 (pois 1\in A\cap B) e excluindo \tfrac{3}{2} (pois B exclui essa raiz). Portanto
A\cap B = [1,\tfrac{3}{2}).

Resposta

A\cap B = [1,\tfrac{3}{2}).

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