Determine o conjunto solução das seguintes desigualdades
Passo 1
Enunciado e conteúdo: temos a desigualdade
. Isso faz parte de desigualdades racionais, então vamos precisar encontrar o domínio, transformar tudo em uma única fração e depois usar análise de sinais.
Passo 2
Determinar o domínio: como a expressão
não existe para quem faz o denominador zero, basta exigir
, ou seja,
.
Passo 3
Colocar tudo num único lado da desigualdade e simplificar: subtraímos 1 de ambos os lados e escrevemos numa única fração:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:
Fatorando e dividindo por 2 (que é positivo, então não muda o sinal):
Passo 4
Para facilitar a análise, podemos escrever o denominador invertendo o sinal:
e assim a condição
Passo 5
Análise de sinais: os pontos críticos são onde numerador ou denominador se anulam, isto é,
e
. Montamos um quadro de sinais na reta real (excluindo
) e vemos: para
a fração é positiva, para
é negativa e para
volta a ser positiva. Como queremos
, só vale no intervalo aberto entre 2 e 3.
Passo 6
Concluindo, a desigualdade só é satisfeita quando
.
Resposta
(2,3)