Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor=-2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação \left\lfloor\frac{x+1}{2}\right\rfloor=-2.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A função aplicada é a função piso (parte inteira inferior) indicada por \left\lfloor\cdot\right\rfloor.
  • O valor da parte inteira é -2.

Passo 2

Entendendo o que significa \left\lfloor t\right\rfloor = k para um número real t e inteiro k.
A definição: \left\lfloor t\right\rfloor = k se, e somente se,
k \le t < k+1,
ou seja, t está no intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [k,k+1). Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \left\lfloor 2{,}3\right\rfloor = 2 porque 2 \le 2{,}3 < 3.
  • \left\lfloor -1{,}2\right\rfloor = -2 porque -2 \le -1{,}2 < -1.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso. Aqui t=\dfrac{x+1}{2} e k=-2. Logo,
-2 \le \frac{x+1}{2} < -1.

Passo 4

Resolver a desigualdade composta para x. Primeiro multiplicamos todos os termos por 2. Como 2>0, a direção das desigualdades não muda. Assim:
-2\cdot 2 \le x+1 < -1\cdot 2
ou seja,
-4 \le x+1 < -2.

Passo 5

Agora subtrai-se 1 de todos os termos (subtrair é operação que mantém a desigualdade). Temos:
-4-1 \le x < -2-1
ou seja,
-5 \le x < -3.

Passo 6

Interpretando o resultado: a solução é o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [ -5, -3 ).
Verificação rápida das extremidades:
  • Para x=-5: \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{-5+1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2 e \left\lfloor -2\right\rfloor=-2 — satisfaz.
  • Para x=-3: \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1 e \left\lfloor -1\right\rfloor=-1\neq-2 — portanto x=-3 não pertence à solução (daí o intervalo aberto à direita).

Resposta

[ -5, -3 )

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