Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\left\lfloor x^{2}\right\rfloor=4

Passo 1

O enunciado dá a equação \left\lfloor x^{2}\right\rfloor=4 e pede o conjunto de todas as soluções reais x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função piso aparece aplicada ao quadrado de x: \left\lfloor x^{2}\right\rfloor.
  • O valor pedido pelo piso é o inteiro \,4.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição da função piso (é importante entender isso direitinho): para todo número real y,
\left\lfloor y\right\rfloor = n \quad\Longleftrightarrow\quad n\le y < n+1,
onde n é um inteiro.
Aplicando isso com y=x^{2} e n=4, obtemos a desigualdade equivalente
4 \le x^{2} < 5.

Passo 3

Vamos separar a desigualdade em duas partes e resolver cada uma com calma.
Parte A: resolver x^{2}\ge 4.
A expressão x^{2} é sempre não-negativa e x^{2}\ge 4 significa que a distância de x à origem é pelo menos 2. Em termos de valor absoluto,
x^{2}\ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge 2.
Isto dá as duas possibilidades
x\le -2 \quad\text{ou}\quad x\ge 2.

Passo 4

Parte B: resolver x^{2}<5.
Como x^{2}<5 e x^{2}\ge 0, podemos tomar raízes quadradas (lembrando que \sqrt{\cdot} é não negativa) e obter
-\,\sqrt{5} < x < \sqrt{5}.

Passo 5

Agora fazemos a interseção das soluções das duas partes — precisamos que ambas as condições ocorram simultaneamente:
\bigl(x\le -2\\ \text{ou}\\ x\ge 2\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\bigr).
Interseccionando:
  • Para o ramo negativo: x\le -2 e -\sqrt{5}<x resultam em -\sqrt{5}<x\le -2.
  • Para o ramo positivo: x\ge 2 e x<\sqrt{5} resultam em 2\le x<\sqrt{5}.
Logo o conjunto solução é
\bigl(-\sqrt{5},-2\bigr]\cup\bigl[2,\sqrt{5}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida de bordas (para ganhar confiança):
  • Em x=2 temos x^{2}=4 e \left\lfloor 4\right\rfloor=4, portanto 2 está na solução (incluso).
  • Em x=\sqrt{5} temos x^{2}=5 e \left\lfloor 5\right\rfloor=5, logo \sqrt{5} não pode estar na solução (excluído).
  • Para um ponto interior, por exemplo x=2{,}1 (que satisfaz 2\le x<\sqrt{5}), tem-se x^{2}\approx 4{,}41 e \left\lfloor 4{,}41\right\rfloor=4, consistente.

Resposta

\displaystyle \left(-\sqrt{5},-2\right]\cup\left[2,\sqrt{5}\right)

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