Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede o conjunto de todas as soluções reais
que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função piso aparece aplicada ao quadrado de
: . - O valor pedido pelo piso é o inteiro
.
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição da função piso (é importante entender isso direitinho): para todo número real
,
onde
é um inteiro.
Aplicando isso com e
, obtemos a desigualdade equivalente
Aplicando isso com
Passo 3
Vamos separar a desigualdade em duas partes e resolver cada uma com calma.
Parte A: resolver
.
A expressão é sempre não-negativa e
significa que a distância de
à origem é pelo menos
. Em termos de valor absoluto,
A expressão
Isto dá as duas possibilidades
Passo 4
Parte B: resolver
.
Como e
, podemos tomar raízes quadradas (lembrando que
é não negativa) e obter
Como
Passo 5
Agora fazemos a interseção das soluções das duas partes — precisamos que ambas as condições ocorram simultaneamente:
Interseccionando:
- Para o ramo negativo:
e resultam em . - Para o ramo positivo:
e resultam em .
Logo o conjunto solução é
Passo 6
Verificação rápida de bordas (para ganhar confiança):
- Em
temos e , portanto está na solução (incluso). - Em
temos e , logo não pode estar na solução (excluído). - Para um ponto interior, por exemplo
(que satisfaz ), tem-se e , consistente.