Determine o conjunto solução das seguintes equações:
|x+3|+|x-2|=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem |x+3| + |x-2| = 4. O conteúdo aqui é equação com valor absoluto e vamos precisar quebrar em casos, seguindo os pontos críticos x = -3 e x = 2.

Passo 2

Dividimos a reta em três intervalos com base nos zeros dos valores absolutos: x < -3, -3 <= x <= 2 e x > 2. Em cada intervalo removemos os sinais de valor absoluto com o sinal adequado.

Passo 3

Para x < -3: temos |x+3| = -(x+3) e |x-2| = -(x-2). A equação vira:
-(x+3) + -(x-2) = 4
que se simplifica a
$$-x - 3 - x + 2 = 4 \implies -2x -1 = 4 \implies -2x = 5 \implies x = -\frac{5}{2} = -2{,}5.
$$Como -x - 3 - x + 2 = 4 implies -2x -1 = 4 implies -2x = 5 implies x = -52 = -2,5 não pertence ao intervalo -2,5, descartamos.

Passo 4

Para -3 <= x <= 2: agora |x+3| = x+3 e |x-2| = -(x-2) = 2 - x. A equação fica:
(x+3) + (2-x) = 4
ou seja
$$5 = 4,
$$que é impossível, logo não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Para x > 2: temos |x+3| = x+3 e |x-2| = x-2. A equação se torna:
(x+3) + (x-2) = 4
ou seja
$$2x + 1 = 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1{,}5.
$$Mas 2x + 1 = 4 implies 2x = 3 implies x = 32 = 1,5 não pertence ao intervalo 1,5, então também descartamos.

Passo 6

Como nenhum dos casos produz uma solução válida, concluímos que não existem valores reais de x que satisfaçam a equação. Poderíamos ainda usar a interpretação geométrica: |x+3| + |x-2| é a soma das distâncias de x a -3 e a 2, que é sempre pelo menos 5, portanto nunca alcança 4.

Resposta

O conjunto solução é o conjunto vazio: varnothing.

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