Determine o conjunto solução das seguintes inequações:

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de x que tornam negativa a expressão (x^2+2x-3)(3x^2-4x+8)<0. O conteúdo aqui é análise de sinal de produto de duas funções polinomiais, então vamos precisar: encontrar raízes, estudar o sinal de cada fator e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Começamos pela primeira função f1(x)=x^2+2x-3. Ela é uma parábola com coeficiente positivo, então abre para cima. Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
D = 2^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 = 16
raízes: x = -2 pm raiz162 = -2 pm 42 implies x=-3 e x=1 í

Passo 3

Para f1(x), por ser positivo fora das raízes e negativo entre elas, concluímos:
f1(x)<0 se e somente se xin(-3,1)

Passo 4

Agora a segunda função f2(x)=3x^2-4x+8. Calculamos o discriminante para ver se ela zera:
D = (-4)^2 - 4cdot3cdot8 = 16 - 96 = -80 < 0

Passo 5

Como D<0 e o coeficiente de x^2 em f2 é positivo, temos f2(x)>0 para todo xinR.

Passo 6

Para o produto f1(x)cdot f2(x)<0, precisamos de um fator negativo e o outro positivo. Como f2(x) nunca muda de sinal (sempre positiva), o produto é negativo exatamente quando f1(x)<0.
Assim, juntando tudo, a solução da inequação é o intervalo em que f1(x) é negativa.

Resposta

(-3,1)

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