Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
Passo 1
O exercício pede para resolver a inequação racional envolvendo frações, ou seja, encontrar todos os x tais que
Vamos usar conteúdos de inequações racionais: determinar domínio, reduzir tudo a uma única fração e analisar o sinal do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o domínio da expressão. Como temos denominadores
e
, devemos ter
Logo,
Passo 3
Agora vamos reescrever a inequação de forma unificada. Somamos 3 a ambos os lados:
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
$$
\frac{1(2x+1)-1(x-1)+3(x-1)(2x+1)}{(x-1)(2x+1)}>0.
$$
Passo 4
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
-
-
-
- Multiplicando por 3:
Somando tudo:
Assim a inequação vira
Passo 5
Precisamos dos zeros do numerador e as raízes do denominador:
• Numerador tem raízes
• Numerador
$$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot6\cdot(-1)}}{2\cdot6}=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{12}=\frac{2\pm2\sqrt7}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6}.
$$
• Denominador anula em e
.
• Denominador anula em
Os pontos críticos são então
Passo 6
Agora montamos o quadro de sinais. Sabemos que:
- O numerador
é positivo para e para , e negativo entre essas duas raízes. - O denominador
é positivo para e para , e negativo para .
Unindo esses sinais, encontramos que a fração é positiva em:
Passo 7
Como a inequação é estrita ("
0") não incluímos os pontos onde o numerador ou denominador se anulam. Além disso,não pode ser nem por domínio.
Passo 8
Em resumo, o conjunto- solução da inequação é:
Resposta
(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac{1-\sqrt7}{6},,\tfrac{1+\sqrt7}{6})\cup(1,\infty)