Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
1x-1-12 x+1>-3

Passo 1

O exercício pede para resolver a inequação racional envolvendo frações, ou seja, encontrar todos os x tais que
1x-1-12x+1>-3
Vamos usar conteúdos de inequações racionais: determinar domínio, reduzir tudo a uma única fração e analisar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio da expressão. Como temos denominadores x-1 e 2x+1, devemos ter
x-1neq0Rightarrow xneq1,
2x+1neq0Rightarrow xneq -tfrac12
Logo, x não pode ser 1 nem -tfrac12.

Passo 3

Agora vamos reescrever a inequação de forma unificada. Somamos 3 a ambos os lados:
1x-1-12x+1+3>0
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador (x-1)(2x+1):
$$
\frac{1(2x+1)-1(x-1)+3(x-1)(2x+1)}{(x-1)(2x+1)}>0.
$$

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. 1cdot(2x+1)=2x+1
  2. 1cdot(x-1)=x-1
  3. (x-1)(2x+1)=2x^2 - x-1
  4. Multiplicando por 3: 3(2x^2-x-1)=6x^2-3x-3
    Somando tudo:
2x+1-(x-1)+(6x^2-3x-3)=6x^2-2x-1
Assim a inequação vira
6x^2-2x-1(x-1)(2x+1)>0

Passo 5

Precisamos dos zeros do numerador e as raízes do denominador:
• Numerador 6x^2-2x-1=0 tem raízes
$$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot6\cdot(-1)}}{2\cdot6}=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{12}=\frac{2\pm2\sqrt7}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6}.
$$
• Denominador anula em x=2pmraiz(-2)^2-4cdot6cdot(-1)2cdot6=2pmraiz4+2412=2pm2raiz712=1pmraiz76 e x=1.
Os pontos críticos são então
x=-tfrac12

Passo 6

Agora montamos o quadro de sinais. Sabemos que:
  • O numerador 6x^2-2x-1 é positivo para x e para x>tfrac1+raiz76, e negativo entre essas duas raízes.
  • O denominador (x-1)(2x+1) é positivo para x<-tfrac12 e para x>1, e negativo para -tfrac12.
    Unindo esses sinais, encontramos que a fração é positiva em:
(-infty,-tfrac12)cup(tfrac1-raiz76,,tfrac1+raiz76)cup(1,infty)

Passo 7

Como a inequação é estrita ("
0") não incluímos os pontos onde o numerador ou denominador se anulam. Além disso, x não pode ser -tfrac12 nem 1 por domínio.

Passo 8

Em resumo, o conjunto- solução da inequação é:
(-infty,-tfrac12)cupl(tfrac1-raiz76,,tfrac1+raiz76r)cup(1,infty)

Resposta

(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac{1-\sqrt7}{6},,\tfrac{1+\sqrt7}{6})\cup(1,\infty)

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