Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
(x-2)(-2 x-4)(x-4) <= 0

Passo 1

O exercício pede para encontrar o conjunto solução da inequação (x-2)(-2x-4)(x-4) <= 0. O conteúdo é inequação polinomial de terceiro grau e vamos usar análise de sinais e pontos críticos para resolver.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão. Em bloco
f(x) = (x-2)(-2x-4)(x-4) = -2(x-2)(x+2)(x-4)
Como multiplicar por -2 inverte a desigualdade <= 0 para >= 0, passamos a resolver
(x-2)(x+2)(x-4) >= 0

Passo 3

Identificamos as raízes do polinômio (x-2)(x+2)(x-4), que são x=-2, x=2 e x=4. Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos onde o sinal pode mudar.

Passo 4

Analisamos o sinal do produto em cada intervalo, testando um ponto representativo:
  • Para x<-2, por exemplo x=-3, o produto é negativo.
  • Para -2, por exemplo x=0, o produto é positivo.
  • Para 2, por exemplo x=3, o produto é negativo.
  • Para x>4, por exemplo x=5, o produto é positivo.
Como queremos (x-2)(x+2)(x-4) >= 0, selecionamos os intervalos onde o sinal é não negativo, incluindo os zeros.

Passo 5

Juntamos os intervalos com sinal não negativo e incluímos os pontos críticos para obter o conjunto solução.

Resposta

[-2,2]cup[4,infty)

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