Determine o conjunto solução das seguintes inequações:
3 xx+1+52 <= 72 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
Temos uma expressão fracionária em que x não pode tornar o denominador zero, e o conteúdo é inequações com expressões racionais. O domínio é x≠−1.

Passo 2

Juntamos tudo em um único denominador. Na esquerda temos
3xx+1+52=6x2(x+1)+5(x+1)2(x+1)=11x+52(x+1)
À direita temos
72x+2=72(x+1)

Passo 3

Igualamos as duas frações sobre o mesmo denominador e simplificamos o 2:
$$
\frac{11x+5}{x+1}\le\frac7{x+1},$$
sempre lembrando que x≠−1.

Passo 4

Como o sinal de x+1 altera a desigualdade, dividimos em casos:
  • Se x+1>0 (isto é, x>−1), multiplicamos sem inverter o sinal e obtemos 11x+5≤7 ⇒ 11x≤2 ⇒ x≤2/11. Juntando com x>−1 dá −1<x≤2/11.
  • Se x+1<0 (isto é, x<−1), ao multiplicar invertíamos o sentido e teríamos 11x+5≥7 ⇒ x≥2/11, mas isso não coincide com x<−1, logo não há solução nesse caso.

Passo 5

Concluímos que a única solução vem do caso x>−1, ficando o conjunto solução:
(-1,2/11].

Resposta

(-1,2/11]

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