Determine o conjunto solução do sistema de inequações simultâneas:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas inequações e pede o conjunto solução comum (os valores de
que satisfazem as duas ao mesmo tempo). As informações fornecidas são:
- Primeira inequação:
. - Segunda inequação:
.
O que é pedido: determinar o conjunto de todos os
que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.
Passo 2
Resolver a primeira inequação
.
Explicação didática rápida (propriedade usada): ao manipular inequações, pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados sem mudar o sinal; ao multiplicar ou dividir por um número positivo, o sinal também se mantém; ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sinal se inverte — atenção a isso!
Aqui é conveniente eliminar o denominador
multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, logo o sinal não muda):
Agora agrupamos os termos em
de um lado (subtraindo
dos dois lados) e o termo constante no outro:
Dividindo por
(positivo, então o sinal não muda):
Passo 3
Interpretação da primeira solução: a solução da primeira inequação é o conjunto de todos os números reais menores que
, isto é,
.
Passo 4
Resolver a segunda inequação
.
Primeiro fatorar o polinômio:
Então a inequação fica
Explicação didática sobre produtos e sinais: para um produto de dois fatores ser menor ou igual a zero, os fatores têm que ter sinais opostos (um positivo e outro negativo) ou pelo menos um deles pode ser zero (caso do “
”). As raízes (onde o produto é zero) são
e
. Entre essas raízes o produto muda de sinal.
Passo 5
Fazer a análise de sinais (método do quadro de sinais ou teste por intervalos):
- Para
: o fator é negativo e é negativo, logo o produto é positivo. - Para
: o fator é positivo e é negativo, logo o produto é negativo. - Para
: ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo. - Nos pontos
e o produto é zero (satisfazendo o ).
Como queremos
, aceitamos onde o produto é negativo ou zero, ou seja, o intervalo fechado entre as raízes:
ou em notação de intervalo,
.
Passo 6
Agora intersectar as soluções das duas inequações para obter a solução do sistema (simultânea): a primeira dá
e a segunda dá
. O conjunto de
que satisfazem ambas é a interseção
.
Fazendo a interseção, os valores que ficam são aqueles que começam em
(incluso) e vão até
(não incluso), portanto o conjunto é
.