Determine o conjunto solução do sistema de inequações simultâneas:
\left\{\begin{array}{l} 2 x-5<\frac{x}{3} \\\ x^{2}-4 x \leq 0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas inequações e pede o conjunto solução comum (os valores de x que satisfazem as duas ao mesmo tempo). As informações fornecidas são:
  • Primeira inequação: 2x-5<\dfrac{x}{3}.
  • Segunda inequação: x^{2}-4x\leq 0.
O que é pedido: determinar o conjunto de todos os x que satisfazem simultaneamente as duas condições acima.

Passo 2

Resolver a primeira inequação 2x-5<\dfrac{x}{3}.
Explicação didática rápida (propriedade usada): ao manipular inequações, pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados sem mudar o sinal; ao multiplicar ou dividir por um número positivo, o sinal também se mantém; ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sinal se inverte — atenção a isso!
Aqui é conveniente eliminar o denominador 3 multiplicando ambos os lados por 3 (que é positivo, logo o sinal não muda):
3(2x-5) < 3\left(\dfrac{x}{3}\right)
6x-15 < x
Agora agrupamos os termos em x de um lado (subtraindo x dos dois lados) e o termo constante no outro:
6x - x < 15
5x < 15
Dividindo por 5 (positivo, então o sinal não muda):
x < 3.

Passo 3

Interpretação da primeira solução: a solução da primeira inequação é o conjunto de todos os números reais menores que 3, isto é, (-\infty,3).

Passo 4

Resolver a segunda inequação x^{2}-4x\leq 0.
Primeiro fatorar o polinômio:
x^{2}-4x = x(x-4).
Então a inequação fica
x(x-4)\leq 0.
Explicação didática sobre produtos e sinais: para um produto de dois fatores ser menor ou igual a zero, os fatores têm que ter sinais opostos (um positivo e outro negativo) ou pelo menos um deles pode ser zero (caso do “ \leq”). As raízes (onde o produto é zero) são x=0 e x=4. Entre essas raízes o produto muda de sinal.

Passo 5

Fazer a análise de sinais (método do quadro de sinais ou teste por intervalos):
  • Para x<0: o fator x é negativo e x-4 é negativo, logo o produto é positivo.
  • Para 0<x<4: o fator x é positivo e x-4 é negativo, logo o produto é negativo.
  • Para x>4: ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
  • Nos pontos x=0 e x=4 o produto é zero (satisfazendo o \leq).
Como queremos x(x-4)\leq 0, aceitamos onde o produto é negativo ou zero, ou seja, o intervalo fechado entre as raízes:
0 \leq x \leq 4,
ou em notação de intervalo, [0,4].

Passo 6

Agora intersectar as soluções das duas inequações para obter a solução do sistema (simultânea): a primeira dá x<3 e a segunda dá 0\leq x\leq 4. O conjunto de x que satisfazem ambas é a interseção (-\infty,3)\cap[0,4].
Fazendo a interseção, os valores que ficam são aqueles que começam em 0 (incluso) e vão até 3 (não incluso), portanto o conjunto é [0,3).

Resposta

[0,3)

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