Resolva a inequação fracionária através do estudo de sinais (quadro de sinais). Atenção à condição de existência do denominador:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A desigualdade é do tipo fracionária (uma razão).
- Condição de existência: o denominador não pode ser zero, portanto
.
A partir daqui vamos transformar a inequação para ter uma única fração e depois estudar os sinais dessa fração.
Passo 2
Colocar tudo em um só membro (subtrair
dos dois lados) para obter uma única fração:
Passo 3
Passar para uma única fração com denominador comum
:
Passo 4
Simplificar o numerador:
Logo a inequação vira
com a condição complementar
(vinda do denominador).
Passo 5
Identificar os pontos críticos (onde o sinal pode mudar):
- Numerador zero em
(a fração vale aí). - Denominador zero em
(a fração é indefinida aí).
Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante:, e .
Passo 6
Fazer o estudo de sinais (quadro de sinais) usando o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.
Sinal do numerador
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Sinal do denominador
:
- Para
: . - Para
: (proibido). - Para
: .
Combinação dos sinais (fração
):
- Em
: numerador , denominador ⇒ fração . - Em
: numerador , denominador ⇒ fração . - Em
: numerador , denominador ⇒ fração .
No pontoa fração vale ; no ponto a fração é indefinida (não pode ser incluído).
Passo 7
Interpretar a desigualdade
:
- Queremos os
onde a fração é negativa ou zero. - Pelos sinais acima: a fração é negativa em
e é zero em . - O ponto
fica excluído porque torna o denominador zero.
Portanto a solução é o intervalo