Resolva a inequação fracionária através do estudo de sinais (quadro de sinais). Atenção à condição de existência do denominador:
\frac{2 x-1}{x+3} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2x-1}{x+3} \leq 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A desigualdade é do tipo fracionária (uma razão).
  • Condição de existência: o denominador não pode ser zero, portanto x \neq -3.
    A partir daqui vamos transformar a inequação para ter uma única fração e depois estudar os sinais dessa fração.

Passo 2

Colocar tudo em um só membro (subtrair 1 dos dois lados) para obter uma única fração:
\frac{2x-1}{x+3} - 1 \leq 0.

Passo 3

Passar para uma única fração com denominador comum x+3:
\frac{2x-1}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} \leq 0,
\frac{2x-1 - (x+3)}{x+3} \leq 0.

Passo 4

Simplificar o numerador:
2x-1-(x+3)=2x-1-x-3 = x-4.
Logo a inequação vira
\frac{x-4}{x+3} \leq 0,
com a condição complementar x \neq -3 (vinda do denominador).

Passo 5

Identificar os pontos críticos (onde o sinal pode mudar):
  • Numerador zero em x=4 (a fração vale 0 aí).
  • Denominador zero em x=-3 (a fração é indefinida aí).
    Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante: (-\infty,-3), (-3,4) e (4,\infty).

Passo 6

Fazer o estudo de sinais (quadro de sinais) usando o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo.
Sinal do numerador (x-4):
  • Para x<4: x-4<0.
  • Para x=4: x-4=0.
  • Para x>4: x-4>0.
Sinal do denominador (x+3):
  • Para x<-3: x+3<0.
  • Para x=-3: x+3=0 (proibido).
  • Para x>-3: x+3>0.
Combinação dos sinais (fração \dfrac{x-4}{x+3}):
  • Em (-\infty,-3): numerador -, denominador - ⇒ fração +.
  • Em (-3,4): numerador -, denominador + ⇒ fração -.
  • Em (4,\infty): numerador +, denominador + ⇒ fração +.
    No ponto x=4 a fração vale 0; no ponto x=-3 a fração é indefinida (não pode ser incluído).

Passo 7

Interpretar a desigualdade \dfrac{x-4}{x+3} \leq 0:
  • Queremos os x onde a fração é negativa ou zero.
  • Pelos sinais acima: a fração é negativa em (-3,4) e é zero em x=4.
  • O ponto x=-3 fica excluído porque torna o denominador zero.
Portanto a solução é o intervalo
(-3,4].

Resposta

(-3,4]

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