Utilizando a definição formal de módulo (
se
, e
se
), simplifique a expressão algébrica abaixo sabendo que o valor de
está no intervalo
:
(Dica: lembre-se que
).
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e diz que o valor de
está no intervalo
. A pergunta é: simplificar algebraicamente
usando a definição do módulo e a dica
. Informações relevantes dadas:
- A expressão original é
. - O intervalo para
é . - Definição de módulo a usar:
se e se . - Lembrete:
.
Passo 2
Primeiro simplificar a parte dentro da raiz: identificar que
é um quadrado perfeito. Verificação:
Explicação rápida: expandindo
obtém-se
. Então podemos reescrever a raiz como raiz de um quadrado.
Passo 3
Usando a dica
com
, obtemos
Portanto a expressão passa a ser
Aqui aplicamos a definição formal do valor absoluto: cada
deverá ser tratado por casos conforme o sinal do argumento.
Passo 4
Agora usar o intervalo
para determinar o sinal de cada argumento dos módulos.
- Para
: como , tem-se . Logo
- Para
: como , tem-se . Logo
Essas conclusões vêm diretamente da definição do módulo: se o argumento é negativo,
; se é não negativo,
.
Passo 5
Substituir essas expressões em
:
Agora simplificar somando termos:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
.
Passo 6
Conclusão didática: para qualquer
no intervalo
, a expressão original é igual a
. É interessante observar que, embora cada módulo dependa de
, a soma dos dois módulos, neste intervalo, resulta numa constante devido ao cancelamento dos termos lineares.