Utilizando a definição formal de módulo ( |a|=a se a \geq 0, e |a|=-a se a<0 ), simplifique a expressão algébrica abaixo sabendo que o valor de x está no intervalo -1<x<2 :
E=\sqrt{x^{2}-4 x+4}+|x+1|
(Dica: lembre-se que \sqrt{a^{2}}=|a| ).

Passo 1

O enunciado fornece a expressão
E=\sqrt{x^{2}-4 x+4}+|x+1|
e diz que o valor de x está no intervalo -1<x<2. A pergunta é: simplificar algebraicamente E usando a definição do módulo e a dica \sqrt{a^{2}}=|a|. Informações relevantes dadas:
  • A expressão original é \displaystyle E=\sqrt{x^{2}-4 x+4}+|x+1|.
  • O intervalo para x é -1<x<2.
  • Definição de módulo a usar: |a|=a se a\ge 0 e |a|=-a se a<0.
  • Lembrete: \sqrt{a^{2}}=|a|.

Passo 2

Primeiro simplificar a parte dentro da raiz: identificar que x^{2}-4x+4 é um quadrado perfeito. Verificação:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Explicação rápida: expandindo (x-2)^{2} obtém-se x^{2}-2\cdot2x+2^{2}=x^{2}-4x+4. Então podemos reescrever a raiz como raiz de um quadrado.

Passo 3

Usando a dica \sqrt{a^{2}}=|a| com a=x-2, obtemos
\sqrt{x^{2}-4x+4}=\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|.
Portanto a expressão passa a ser
E=|x-2|+|x+1|.
Aqui aplicamos a definição formal do valor absoluto: cada |\cdot| deverá ser tratado por casos conforme o sinal do argumento.

Passo 4

Agora usar o intervalo -1<x<2 para determinar o sinal de cada argumento dos módulos.
  • Para x+1: como x>-1, tem-se x+1>0. Logo
|x+1|=x+1 \quad\text{para todo }x\text{ em }(-1,2).
  • Para x-2: como x<2, tem-se x-2<0. Logo
|x-2|=-(x-2)=2-x \quad\text{para todo }x\text{ em }(-1,2).
Essas conclusões vêm diretamente da definição do módulo: se o argumento é negativo, |a|=-a; se é não negativo, |a|=a.

Passo 5

Substituir essas expressões em E:
E=|x-2|+|x+1|=(2-x)+(x+1).
Agora simplificar somando termos:
(2-x)+(x+1)=2-x+x+1=3.
Os termos -x e +x se cancelam, sobrando 2+1=3.

Passo 6

Conclusão didática: para qualquer x no intervalo -1<x<2, a expressão original é igual a 3. É interessante observar que, embora cada módulo dependa de x, a soma dos dois módulos, neste intervalo, resulta numa constante devido ao cancelamento dos termos lineares.

Resposta

E=3

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