Determine o conjunto solução da inequação quadrática abaixo no universo dos números reais:
-2 x^{2}+5 x-3>0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação quadrática no universo dos números reais
-2 x^{2}+5 x-3>0.
Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente da inequação):
  • coeficiente quadrático: a=-2,
  • coeficiente linear: b=5,
  • termo constante: c=-3.

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vamos usar): para resolver uma inequação do tipo a x^{2}+b x+c>0 com a\neq0 usamos as raízes da equação quadrática associada a x^{2}+b x+c=0. Essas raízes são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é
\Delta=b^{2}-4ac.
O que \Delta nos diz:
  • se \Delta<0 não há raízes reais e o sinal do polinômio é o sinal de a para todo x;
  • se \Delta=0 há uma raiz dupla e o polinômio tem sinal de a exceto no ponto da raiz (onde é zero);
  • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas x_1 e x_2 e o sinal do polinômio alterna entre intervalos definidos por essas raízes. Em particular, se a<0 (abre para baixo) então o polinômio é positivo entre as raízes e negativo fora delas.
Agora calculamos \Delta para os coeficientes dados.

Passo 3

Cálculo do discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot(-2)\cdot(-3)=25-24=1.
Como \Delta=1>0, temos duas raízes reais distintas.

Passo 4

Aplicando a fórmula quadrática para achar as raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2(-2)}=\frac{-5\pm1}{-4}.
Calculando cada caso:
x_{+}=\frac{-5+1}{-4}=\frac{-4}{-4}=1, \qquad x_{-}=\frac{-5-1}{-4}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.
Portanto as duas raízes são x_1=1 e x_2=\tfrac{3}{2}. Em ordem crescente: 1<\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Análise do sinal (por que a solução é um intervalo entre as raízes):
  • O coeficiente quadrático é a=-2<0, então a parábola associada abre para baixo. Isso significa que quando x\to\pm\infty o valor de -2x^{2}+5x-3 tende a -\infty (negativo nas “pontas”), portanto, se houver valores positivos, eles só podem ocorrer entre as raízes.
  • Formalizando com fatoração: como \Delta>0 podemos escrever
-2x^{2}+5x-3=-2\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr).
Dividindo ambos os lados da inequação por -2 (número negativo, então o sentido da desigualdade troca) obtemos
\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)<0.
Um produto de dois fatores é negativo exatamente quando os fatores têm sinais opostos, ou seja, quando x fica entre as raízes. Logo a inequação é satisfeita para
1<x<\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Resumo final e incentivo breve: então a solução da inequação é o intervalo aberto entre as raízes. Boa — você conseguiu identificar raízes e o comportamento da parábola; na prova, faça esses passos: calcule \Delta, ache as raízes, observe o sinal de a e conclua pelo intervalo entre (ou fora) das raízes conforme o caso.

Resposta

\left(1,\tfrac{3}{2}\right)

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