Determine o conjunto solução da inequação quadrática abaixo no universo dos números reais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação quadrática no universo dos números reais
Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente da inequação):
- coeficiente quadrático:
, - coeficiente linear:
, - termo constante:
.
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vamos usar): para resolver uma inequação do tipo
com
usamos as raízes da equação quadrática associada
. Essas raízes são dadas pela fórmula quadrática
onde
(o discriminante) é
O que
nos diz:
- se
não há raízes reais e o sinal do polinômio é o sinal de para todo ; - se
há uma raiz dupla e o polinômio tem sinal de exceto no ponto da raiz (onde é zero); - se
há duas raízes reais distintas e e o sinal do polinômio alterna entre intervalos definidos por essas raízes. Em particular, se (abre para baixo) então o polinômio é positivo entre as raízes e negativo fora delas.
Agora calculamos
para os coeficientes dados.
Passo 3
Cálculo do discriminante:
Como
, temos duas raízes reais distintas.
Passo 4
Aplicando a fórmula quadrática para achar as raízes:
Calculando cada caso:
Portanto as duas raízes são
e
. Em ordem crescente:
.
Passo 5
Análise do sinal (por que a solução é um intervalo entre as raízes):
- O coeficiente quadrático é
, então a parábola associada abre para baixo. Isso significa que quando o valor de tende a (negativo nas “pontas”), portanto, se houver valores positivos, eles só podem ocorrer entre as raízes. - Formalizando com fatoração: como
podemos escrever
Dividindo ambos os lados da inequação por
(número negativo, então o sentido da desigualdade troca) obtemos
Um produto de dois fatores é negativo exatamente quando os fatores têm sinais opostos, ou seja, quando
fica entre as raízes. Logo a inequação é satisfeita para
Passo 6
Resumo final e incentivo breve: então a solução da inequação é o intervalo aberto entre as raízes. Boa — você conseguiu identificar raízes e o comportamento da parábola; na prova, faça esses passos: calcule
, ache as raízes, observe o sinal de
e conclua pelo intervalo entre (ou fora) das raízes conforme o caso.