Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
x^2 y^prime prime+4 x y^prime+2 x=0, x>0

Passo 1

A gente quer resolver a EDO de 2ª ordem x^2y''+4xy'+2x=0 para x>0. Esse tipo de equação é do tipo Cauchy–Euler mas sem termo em y, e ainda tem um termo não homogêneo em x. Para atacar, vamos usar redução de ordem definindo u=y' e transformar em uma EDO de 1ª ordem.

Passo 2

Substituindo u=y' e u'=y'' na equação original, obtemos
x^2u'+4xu+2x=0
Como x>0, podemos dividir tudo por x e ficar com
xu'+4u+2=0,
que é uma EDO linear de 1ª ordem em u(x).

Passo 3

Para resolver
xu'+4u=-2,
usamos fator integrante:
mu(x)= me^,integral!4/x,dx=x^4
Multiplicando a EDO por x^4
Integrando em relação a dvx(x^4u)=-2x^3 :
x
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x^4u=integral(-2x^3),dx=-tfrac12x^4+C1,

Passo 4

Agora integramos y'= -tfrac12 + C1x^-4:
y=integral(-tfrac12),dx + C1integral x^-4,dx = -tfrac12x - tfracC13x^-3 + C2
Renomeando -C1/3 como A e C2 como B, obtemos
y(x)=B + A,x^-3 - tfrac12x

Passo 5

A parte homogênea é
yh(x)=B + A,x^-3,
cuja base de soluções fundamentais é 1,,x^-3. Por fim, a solução geral da EDO original é
y(x)=C1 + C2,x^-3 - tfrac12x

Resposta

Um conjunto de soluções fundamentais é 1,,x^-3 e a solução geral é
y(x)=C1 + C2,x^-3 - tfrac12x

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