Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
A gente quer resolver a EDO de 2ª ordem
para
. Esse tipo de equação é do tipo Cauchy–Euler mas sem termo em
, e ainda tem um termo não homogêneo em
. Para atacar, vamos usar redução de ordem definindo
e transformar em uma EDO de 1ª ordem.
Passo 2
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Como
, podemos dividir tudo por
e ficar com
que é uma EDO linear de 1ª ordem em
.
Passo 3
Para resolver
usamos fator integrante:
Multiplicando a EDO por
dá
Integrando em relação a
:
logo
Passo 4
Agora integramos
:
Renomeando
como
e
como
, obtemos
Passo 5
A parte homogênea é
cuja base de soluções fundamentais é
. Por fim, a solução geral da EDO original é
Resposta
Um conjunto de soluções fundamentais é
e a solução geral é