Questão 4. Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem. Vamos usar: (a) solução geral da homogênea via equação característica; (b) método dos coeficientes a determinar para a parte particular; © imposição das condições iniciais.
Passo 2
Vamos resolver primeiro a parte homogênea associada:
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja raiz dupla é
. Portanto a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não homogênea
. Vamos dividir em dois pedaços:
- Para
, como e já estão na homogênea (multiplicidade 2), usamos o ansatz
- Para a constante
, usamos ansatz constante
Então
Passo 4
Calculamos derivadas de
e plugamos em
só na parte que envolve
:
Logo,
Queremos isso igual a
, daí
Para a parte constante:
Então
Passo 5
A solução geral é
Derivando,
Em
:
Passo 6
Substituindo
e
, chegamos à solução do PVI: