Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4 y(0)=0 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem. Vamos usar: (a) solução geral da homogênea via equação característica; (b) método dos coeficientes a determinar para a parte particular; © imposição das condições iniciais.

Passo 2

Vamos resolver primeiro a parte homogênea associada:
A equação homogênea é
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja raiz dupla é (r-1)^2=0. Portanto a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 ,t e^t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para a parte não homogênea t e^t + 4. Vamos dividir em dois pedaços:
  1. Para t e^t, como e^t e t e^t já estão na homogênea (multiplicidade 2), usamos o ansatz
yp1(t) = (a t^3 + b t^2)e^t
  1. Para a constante 4, usamos ansatz constante
yp2(t) = D
Então yp = yp1 + yp2

Passo 4

Calculamos derivadas de yp1 e plugamos em y'' - 2y' + y só na parte que envolve e^t:
yp1 = (a t^3 + b t^2)e^t,
y'p1 = (a t^3 + (3a+b)t^2 + 2b t)e^t,
y''p1 = (a t^3 + (6a+b)t^2 + (6a+4b)t + 2b)e^t
Logo,
y''p1 - 2y'p1 + yp1 = (6a t + 2b)e^t
Queremos isso igual a t e^t, daí
6a = 1, 2b = 0 implies a = tfrac16, ; b = 0
Para a parte constante:
yp2 = D implies y''p2-2y'p2+yp2=D = 4 implies D=4
Então
yp(t) = t^36e^t + 4

Passo 5

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 t e^t + t^36e^t + 4
Derivando,
y'(t) = e^tl(C1 + C2 t + t^36r) + e^tl(C2 + t^22r)
Em t=0:
y(0) = C1 + 4 = 0 implies C1 = -4,
y'(0) = C1 + C2 = 1 implies -4 + C2 =1 implies C2 =5

Passo 6

Substituindo C1 e C2, chegamos à solução do PVI:
y(t) = e^tl(-4 + 5t + t^36r) + 4

Resposta

y(t) = e^tl(-4 + 5t + t^36r) + 4

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