Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime+2 y^prime+5 y=4 e^-t cos (2 t) y(0)=1 ; y prime(0)=0

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver o PVI de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, ou seja, y’’+2y’+5y=4e^{-t}\cos(2t) sujeito a y(0)=1 e y’(0)=0. Para isso vamos usar o método geral: achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea y’’+2y’+5y=0. A equação característica é
r^2+2r+5=0
que tem raízes
r=-1pm2i
Logo a solução homogênea é
yh(t)=e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)

Passo 3

Para a parte particular, note que o termo 4e^{-t}\cos(2t) coincide com a forma da homogênea, então usamos ansatz com fator t:
yp(t)=t,e^-tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r)
Escrevendo y_p=e^{-t}u com u=t(A\cos(2t)+B\sin(2t)), faz-se a substituição na EDO e obtém-se a equação simples
u''+4u=4cos(2t)

Passo 4

Calculamos u’’+4u. Com u=t(A\cos2t+B\sin2t) chega-se a
u''+4u=-4Asin(2t)+4Bcos(2t)
Igualando ao lado direito 4\cos(2t) dá -4A=0 e 4B=4, logo A=0 e B=1. Assim
yp(t)=t,e^-tsin(2t)

Passo 5

A solução geral é
y(t)=yh+yp=e^-tl(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)+t,e^-tsin(2t)
Agora aplicamos as condições iniciais. De y(0)=1 vem C_1=1. Para y’(0)=0 calculamos y’ e obtemos
y'(0)=2C2-C1=0implies C2=tfrac12

Resposta

A solução do PVI é
y(t)=e^-tl[cos(2t)+tfrac12sin(2t)+tsin(2t)r]

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