Questão 4. Resolva os PVIs:
Passo 1
Nesse exercício vamos resolver o PVI de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, ou seja, y’’+2y’+5y=4e^{-t}\cos(2t) sujeito a y(0)=1 e y’(0)=0. Para isso vamos usar o método geral: achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea y’’+2y’+5y=0. A equação característica é
que tem raízes
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, note que o termo 4e^{-t}\cos(2t) coincide com a forma da homogênea, então usamos ansatz com fator t:
Escrevendo y_p=e^{-t}u com u=t(A\cos(2t)+B\sin(2t)), faz-se a substituição na EDO e obtém-se a equação simples
Passo 4
Calculamos u’’+4u. Com u=t(A\cos2t+B\sin2t) chega-se a
Igualando ao lado direito 4\cos(2t) dá -4A=0 e 4B=4, logo A=0 e B=1. Assim
Passo 5
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais. De y(0)=1 vem C_1=1. Para y’(0)=0 calculamos y’ e obtemos
Resposta
A solução do PVI é