Resolva o PVI:
y^prime-yx=x^2 ln x, com y(1)=2

Passo 1

E aí, beleza? O enunciado pede pra gente resolver o PVI
y' - yx = x^2 ln x, y(1)=2
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem.
O que vamos usar: escrever na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando na forma padrão, temos
y' - 1x,y = x^2ln x,
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P(x) = -1x, Q(x)=x^2ln x

Passo 3

Calcular o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -tfrac1x,dxr) =exp(-ln x)=x^-1

Passo 4

Multiplica a equação por mu(x)=x^-1:
x^-1y' - x^-2y = x^-1,x^2ln x = xln x
O lado esquerdo é a derivada do produto yx, pois
$$\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac yx\Bigr)
=\frac{x,y’ - y}{x^2}
=x^{-1}y’ - x^{-2}y.$$

Passo 5

Integra dos dois lados:
ddxl(tfrac yxr)=xln x Longrightarrow yx = integral xln x,dx + C
Agora integral xln x,dx por partes:
  • Seja u=ln x, dv=x,dx.
  • Então du=tfrac1x,dx, v=tfracx^22.
    Logo
integral xln x,dx =x^22ln x - integralx^22cdot1x,dx =x^22ln x - 12integral x,dx =x^22ln x - x^24
Assim
$$\frac yx
=\frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4 + C.$$

Passo 6

Despejando y:
$$y = x\Bigl(\frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4 + C\Bigr)
=\frac{x^3}2\ln x - \frac{x^3}4 + Cx.$$

Passo 7

Aplica a condição y(1)=2:
2 = y(1)=1^32cdot0 - 1^34 + Ccdot1 =-tfrac14 + C Longrightarrow C = 2 + tfrac14 = tfrac94

Resposta

boxedy(x)=x^32ln x ;-;x^34;+;94,x

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