Resolva o PVI:
Passo 1
E aí, beleza? O enunciado pede pra gente resolver o PVI
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem.
O que vamos usar: escrever na forma padrão
e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocando na forma padrão, temos
logo
Passo 3
Calcular o fator integrante
Passo 4
Multiplica a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
$$\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac yx\Bigr)
=\frac{x,y’ - y}{x^2}
=x^{-1}y’ - x^{-2}y.$$
Passo 5
Integra dos dois lados:
Agora
por partes:
- Seja
. - Então
.
Logo
Assim
$$\frac yx
=\frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4 + C.$$
Passo 6
Despejando
:
$$y = x\Bigl(\frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4 + C\Bigr)
=\frac{x^3}2\ln x - \frac{x^3}4 + Cx.$$
Passo 7
Aplica a condição
: