Determine o conjunto de todas as soluções do sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{rl} x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-7 x_{5} & =14 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}+5 x_{5} & =-2 \\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3} & +2 x_{5} \end{array}=-1\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em cinco incógnitas e três equações:
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}=14,\\\\ 2x_{1}+6x_{2}+x_{3}-2x_{4}+5x_{5}=-2,\\\ x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{5}=-1. \end{cases}
Para encontrar todas as soluções, vamos usar eliminação de Gauss e, em seguida, expressar a solução de forma paramétrica.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos as operações R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2\\\\ 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_{2}-2R_{1},\;R_{3}-R_{1}}\; \left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\\\ 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -15 \end{array}\right].

Passo 3

Fazemos agora R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}, obtendo
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & 15 \end{array}\right].
Isso corresponde ao sistema escalonado
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}=14,\\\\ -3x_{3}-8x_{4}+19x_{5}=-30,\\\\ 5x_{4}-10x_{5}=15. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo de baixo para cima: da terceira equação,
5x_{4}-10x_{5}=15 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=3+2x_{5}.
Substituindo em -3x_{3}-8x_{4}+19x_{5}=-30:
-3x_{3}-8(3+2x_{5})+19x_{5}=-30 \;\Longrightarrow\; -3x_{3}+3x_{5}=-6 \;\Longrightarrow\; x_{3}=2+x_{5}.
Finalmente, na primeira equação,
x_{1}+3x_{2}+2(2+x_{5})+3(3+2x_{5})-7x_{5}=14 \;\Longrightarrow\; x_{1}+3x_{2}+x_{5}=1 \;\Longrightarrow\; x_{1}=1-3x_{2}-x_{5}.

Passo 5

Introduzimos os parâmetros livres s=x_{2} e t=x_{5}. Assim,
\begin{cases} x_{1}=1-3s-t,\\\ x_{2}=s,\\\ x_{3}=2+t,\\\ x_{4}=3+2t,\\\ x_{5}=t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

O conjunto de todas as soluções é
\bigl\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(1-3s-t,\;s,\;2+t,\;3+2t,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\bigr\}.

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