Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3 \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de cinco equações lineares em três incógnitas x,y,z:
\begin{cases} 3x + 2y - 4z = 1,\\\ x - y + z = 3,\\\ x - y - 3z = -3,\\\\ 3x + 3y - 5z = 0,\\\\ -\,x + y + z = 1. \end{cases}
O objetivo é classificar o sistema (se é consistente com solução única, consistente com infinitas soluções ou inconsistente) e, se houver, encontrar o conjunto-solução.

Passo 2

Vamos usar as equações
\displaystyle x - y + z = 3 (segunda)
e
\displaystyle -\,x + y + z = 1 (quinta).
Somando-as, temos
(x - y + z) + (-x + y + z) = 3 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad z = 2.
Substituindo z=2 na segunda equação,
x - y + 2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x - y = 1.

Passo 3

Podemos isolar x em função de y:
x = y + 1.

Passo 4

Agora testamos essas expressões na terceira equação
\displaystyle x - y - 3z = -3. Substituindo x = y+1 e z=2:
(y + 1) - y - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5,
mas a equação exige lado direito igual a -3. Como chegamos a
-5 \neq -3,
há uma contradição.

Passo 5

A contradição mostra que não existe nenhum triplo (x,y,z) satisfazendo todas as cinco equações simultaneamente. Logo, o sistema é inconsistente.

Resposta

O sistema é inconsistente e seu conjunto-solução é vazio: \emptyset.

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