Determine o valor de m e n para que os trếs planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-14 y+z+n=0 tenham um único ponto em comum.
Escolha uma opçäo:
a. m=7 e n=-1
b. m=1 e n=29
c. m \neq 7 e n qualquer valor real
d. m=7 e n \neq-1
e. m \neq 1 e n qualquer valor real
f. m=1 e n \neq 29

Passo 1

O enunciado pede determinar m e n para que os três planos \pi_{1},\pi_{2},\pi_{3} tenham um único ponto em comum.
Isso equivale a resolver um sistema linear e garantir que a matriz dos coeficientes seja invertível.

Passo 2

Os planos têm como normais os vetores
n_{1}=(-1,2,-3),
n_{2}=(2,-4,-4) e
n_{3}=(m,-14,1).
Colocando-os como linhas da matriz de coeficientes, temos
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\\\ 2 & -4 & -4\\\ m & -14 & 1 \end{pmatrix}.
A interseção única ocorre se, e somente se, \det(A)\neq 0.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -4\\\\ -14 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -4 \\\ m & 1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -4 \\\ m & -14\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}-4 & -4\\\\ -14 & 1\end{pmatrix}=-60,
\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & 1\end{pmatrix}=4m+2,
\det\begin{pmatrix}2 & -4\\\ m & -14\end{pmatrix}=4m-28.
Substituindo,
\det(A) = (-1)(-60) -2(4m+2) -3(4m-28) = 60 -8m -4 -12m +84 = 140 -20m.

Passo 4

Para ter \det(A)\neq 0 basta
140 -20m \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad m \neq 7.
Note que n não aparece nesse determinante, então pode ser qualquer valor real.

Resposta

c. m\neq 7 e n qualquer valor real.

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