Determine o valor de m e n para que os trếs planos \pi_{1}:-x+2 y-3 z+5=0, \pi_{2}: 2 x-4 y-4 z+7=0 e \pi_{3}: m x-14 y+z+n=0 tenham um único ponto em comum.
Escolha uma opçäo:
a. m=7 e n=-1
b. m=1 e n=29
c. m \neq 7 e n qualquer valor real
d. m=7 e n \neq-1
e. m \neq 1 e n qualquer valor real
f. m=1 e n \neq 29
Passo 1
O enunciado pede determinar m e n para que os três planos \pi_{1},\pi_{2},\pi_{3} tenham um único ponto em comum.
Isso equivale a resolver um sistema linear e garantir que a matriz dos coeficientes seja invertível.
Passo 2
Os planos têm como normais os vetores n_{1}=(-1,2,-3), n_{2}=(2,-4,-4) e n_{3}=(m,-14,1).
Colocando-os como linhas da matriz de coeficientes, temos
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\\\ 2 & -4 & -4\\\ m & -14 & 1 \end{pmatrix}.
A interseção única ocorre se, e somente se, \det(A)\neq 0.
Passo 3
Vamos calcular \det(A) pela expansão na primeira linha: