Para quais valores de k \in \mathbb{R}, o sistema de equações lineares
\left\{\begin{aligned} k x+2 y & =6 \\\\ 3 x-y & =-2 \\\ x+y & =0 \end{aligned}\right.
é possível e determinado? Para quais valores o sistema é impossível?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema sobredeterminado de três equações lineares em duas incógnitas x\) e \(y\): \[\begin{cases} k x + 2y = 6,\\\\ 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares. Como há mais equações do que incógnitas, para existir solução única as três equações devem ser compatíveis e, em particular, duas delas já definem x\] e \(y de forma única.

Passo 2

Escolhemos as duas últimas equações
3x - y = -2 \quad\text{e}\quad x + y = 0.
Elas formam um sistema 2\times2. Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -1\\\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =3\cdot1 - (-1)\cdot1 = 4 \neq 0.
Como \Delta\neq0, esse subsistema tem solução única.

Passo 3

Resolvendo
3x - y = -2, \quad x + y = 0
da segunda equação vem y = -x. Substituindo em 3x - y = -2
3x - (-x) = -2 \;\Longrightarrow\; 4x = -2 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac12,
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y = -(-\tfrac12) = \tfrac12.

Passo 4

Para que o sistema completo admita essa solução, a primeira equação
k x + 2y = 6
deve ser satisfeita por x=-\tfrac12 e y=\tfrac12. Substituindo,
k\bigl(-\tfrac12\bigr) + 2\bigl(\tfrac12\bigr) = 6 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{k}{2} + 1 = 6 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{k}{2} = 5 \;\Longrightarrow\; k = -10.
Para k=-10 a primeira equação se torna dependente das outras duas, e o sistema todo é compatível com solução única.

Passo 5

Se k=-10, o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução). Se k\neq -10, a primeira equação não coincide com a solução de 3x-y=-2 e x+y=0, e o sistema fica incompatível (impossível).

Resposta

O sistema é possível e determinado para k = -10 e é impossível para todo k \neq -10.

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