Para quais valores de k \in \mathbb{R}, o sistema de equações lineares
\left\{\begin{aligned} k x+2 y & =6 \\\\ 3 x-y & =-2 \\\ x+y & =0 \end{aligned}\right.
é possível e determinado? Para quais valores o sistema é impossível?
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema sobredeterminado de três equações lineares em duas incógnitas x\) e \(y\):
\[\begin{cases} k x + 2y = 6,\\\\ 3x - y = -2,\\\ x + y = 0. \end{cases}
O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares. Como há mais equações do que incógnitas, para existir solução única as três equações devem ser compatíveis e, em particular, duas delas já definem x\] e \(y de forma única.
Passo 2
Escolhemos as duas últimas equações
3x - y = -2 \quad\text{e}\quad x + y = 0.
Elas formam um sistema 2\times2. Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
Para k=-10 a primeira equação se torna dependente das outras duas, e o sistema todo é compatível com solução única.
Passo 5
Se k=-10, o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução). Se k\neq -10, a primeira equação não coincide com a solução de 3x-y=-2 e x+y=0, e o sistema fica incompatível (impossível).
Resposta
O sistema é possível e determinado para k = -10 e é impossível para todo k \neq -10.