Determine o conjunto de todos os pontos em que g(x, y) é contínua.
g(x, y)=cc x sen 1y, & y neq 0 0, & y=0

Passo 1

Vamos resolver onde a função de duas variáveis g(x,y) é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de limite e as propriedades de funções compostas e produto de funções contínuas.

Passo 2

Para pontos com yneq 0, temos g(x,y)=xsin1y. Como xmapsto x e ymapsto sin1y são contínuas em qualquer ponto com yneq0, o produto também é contínuo, logo g é contínua para todo ponto em que yneq0.

Passo 3

Agora olhamos para pontos na reta y=0. Chamemos um ponto genérico de (x0,0). Para testar continuidade, calculamos lim(x,y)to(x0,0)g(x,y)=lim(x,y)to(x0,0)xsintfrac1y.

Passo 4

Se x0neq0, podemos escolher sequências de yto0 tais que sintfrac1y oscila entre 1 e -1, fazendo o limite oscilar entre x0 e -x0. Assim o limite não existe ou não é igual a g(x0,0)=0, logo há descontinuidade. Por outro lado, se x0=0, usamos a desigualdade
|xsintfrac1y|<=|x|,
e como xto0 quando (x,y)to(0,0), o limite vale 0, que coincide com g(0,0)=0. Portanto é contínua em (0,0) only.

Resposta

O conjunto de continuidade é
(x,y):yneq0cup(0,0)

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