Determine o conjunto de todos os pontos em que
é contínua.
Passo 1
Vamos resolver onde a função de duas variáveis
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de limite e as propriedades de funções compostas e produto de funções contínuas.
Passo 2
Para pontos com
, temos
. Como
e
são contínuas em qualquer ponto com
, o produto também é contínuo, logo
é contínua para todo ponto em que
.
Passo 3
Agora olhamos para pontos na reta
. Chamemos um ponto genérico de
. Para testar continuidade, calculamos
.
Passo 4
Se
, podemos escolher sequências de
tais que
oscila entre
e
, fazendo o limite oscilar entre
e
. Assim o limite não existe ou não é igual a
, logo há descontinuidade. Por outro lado, se
, usamos a desigualdade
e como
Resposta
O conjunto de continuidade é