Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
A questão pede para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão da função
. Vamos precisar da segunda derivada
e analisar onde ela se anula e muda de sinal.
Passo 2
Usando a regra do quociente para derivar
, definimos
e
. Assim
Passo 3
Para obter
, derivamos
novamente por regra do quociente. Isso leva a
Passo 4
Igualamos
para achar possíveis inflexões. O numerador
zera em
e
.
Como o denominador sempre, o sinal de
vem de
. Fazendo o quadro de sinais:
Como o denominador
- Em
: e ⇒ (concavidade para baixo). - Em
: e ⇒ (concavidade para cima). - Em
: e ⇒ (concavidade para baixo). - Em
: e ⇒ (concavidade para cima).
Passo 5
Nos pontos
a concavidade muda de sinal, logo são pontos de inflexão. Calculamos
e
.
Resposta
A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Os pontos de inflexão são
,
e
.