Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
f(x)=x1+x^2

Passo 1

A questão pede para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão da função f(x)=x1+x^2. Vamos precisar da segunda derivada f''(x) e analisar onde ela se anula e muda de sinal.

Passo 2

Usando a regra do quociente para derivar f(x)=x1+x^2, definimos u(x)=x e v(x)=1+x^2. Assim
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=1cdot(1+x^2)-xcdot2x(1+x^2)^2=1-x^2(1+x^2)^2,

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=1-x^2(1+x^2)^2 novamente por regra do quociente. Isso leva a
f''(x)=-2x(1+x^2)^2-(1-x^2),4x(1+x^2)(1+x^2)^4=-2x(1+x^2)(3-x^2)(1+x^2)^4=-2x(3-x^2)(1+x^2)^3,

Passo 4

Igualamos f''(x)=0 para achar possíveis inflexões. O numerador -2x(3-x^2) zera em x=0 e x=pmraiz3.
Como o denominador (1+x^2)^3>0 sempre, o sinal de f''(x) vem de 2x(x^2-3). Fazendo o quadro de sinais:
  • Em (-infty,-raiz3): x<0 e x^2>3 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (-raiz3,0): x<0 e x^2<3 f''>0 (concavidade para cima).
  • Em (0,raiz3): x>0 e x^2<3 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (raiz3,infty): x>0 e x^2>3 f''>0 (concavidade para cima).

Passo 5

Nos pontos x=-raiz3,0,raiz3 a concavidade muda de sinal, logo são pontos de inflexão. Calculamos f(pmraiz3)=pmraiz34 e f(0)=0.

Resposta

A função é côncava para baixo em ( -infty,-raiz3 )cup(0,raiz3) e côncava para cima em ( -raiz3,0 )cup(raiz3,infty). Os pontos de inflexão são l(-raiz3,-tfracraiz34r), (0,0) e l(raiz3,tfracraiz34r).

Exercícios relacionados