Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y

Passo 1

Temos a integral dupla integral0^8!integralraiz[3]y^2 e^x^4,dx,dy. O conteúdo é troca de ordem de integração, e para isso precisamos entender a região no plano xy.

Passo 2

Os limites originais dizem que 0<= y<=8 e, para cada y, x vai de x=y^1/3 até x=2. Isso corresponde à região limitada abaixo por y=0, acima pela curva y=x^3 e à direita pela reta x=2.

Passo 3

Ao esboçar, vemos que a região fica entre x=0 e x=2, e para um x fixo, y varia de 0 até x^3.

Passo 4

Logo, invertendo a ordem de integração, x parte de 0 até 2, e para cada x, y vai de 0 até x^3.

Resposta

integral0^2!integral0^x^3 e^x^4,dy,dx

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