A tarefa é achar todos os pontos de R^2 onde f é diferenciável. Para isso usamos que razões de funções diferenciáveis (com denominador não nulo) são diferenciáveis, e que no ponto (0,0) precisamos testar continuidade e existência de derivadas parciais pela definição.]
Passo 2
Se , então e ambas as funções
são . Logo
é composição de funções com denominador não zero, portanto é (e em particular diferenciável) em todo ponto de que não seja a origem.
Passo 3
No ponto (0,0) a diferenciabilidade exige pelo menos continuidade ali. Mas se aproximarmos (x,y)to(0,0) pela reta y=mx (com m fixo), temos para xneq0:
f(x,mx) =x^2x^2+(mx)^2 =11+m^2
Quando xto0, esse valor tende a 11+m^2, que depende de m. Como o limite não é único, f não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável aí.
Resposta
O conjunto de todos os pontos onde f é diferenciável é