Determine o conjunto de todos os pontos onde f(x, y)=llx^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é diferenciável.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)= x^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0)
A tarefa é achar todos os pontos de R^2 onde f é diferenciável. Para isso usamos que razões de funções diferenciáveis (com denominador não nulo) são diferenciáveis, e que no ponto (0,0) precisamos testar continuidade e existência de derivadas parciais pela definição.]

Passo 2

Se , então e ambas as funções
são . Logo
é composição de funções com denominador não zero, portanto é (e em particular diferenciável) em todo ponto de que não seja a origem.

Passo 3

No ponto (0,0) a diferenciabilidade exige pelo menos continuidade ali. Mas se aproximarmos (x,y)to(0,0) pela reta y=mx (com m fixo), temos para xneq0:
f(x,mx) =x^2x^2+(mx)^2 =11+m^2
Quando xto0, esse valor tende a 11+m^2, que depende de m. Como o limite não é único, f não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável aí.

Resposta

O conjunto de todos os pontos onde f é diferenciável é
R^2setminus(0,0)

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