Seja f: R R uma função definida por f(x)=4-2 x. Prove que:
lim x 3(4-2 x)=-2.

Passo 1

O enunciado dá a função f:RtoR definida por
f(x)=4-2x
e pede para provar, pelo método varepsilon de<a, que
limxto3f(x)=-2
O conteúdo usado será a definição formal de limite de função.

Passo 2

Segundo a definição de limite, precisamos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, vale
|f(x)-(-2)|<varepsilon

Passo 3

Calculemos a expressão |f(x)-(-2)|:
|f(x)-(-2)| = |(4-2x)+2| = |6-2x| = 2,|3-x| = 2,|x-3|

Passo 4

Para garantir que 2,|x-3|<varepsilon, basta exigir
|x-3|<varepsilon2
Logo, fazemos a escolha padrão
de<a = varepsilon2,
que é positivo sempre que varepsilon>0.

Passo 5

Com essa escolha, se 0<|x-3|<de<a então
|f(x)-(-2)| = 2,|x-3| < 2,de<a = 2cdotvarepsilon2 = varepsilon
Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe de<a=varepsilon/2 satisfazendo a definição, e portanto
limxto3(4-2x) = -2

Resposta

limxto3(4-2x)=-2

Exercícios relacionados