Sabendo-se que a curva y=\frac{x^{2}+p^{2}}{p\left(x^{2}+1\right)+3 x}, tem exatamente duas assíntotas verticais, qual o valor de p ?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = \frac{x^{2} + p^{2}}{p\bigl(x^{2}+1\bigr) + 3x}
e pede o(s) valor(es) de p para que haja exatamente duas assíntotas verticais. Vamos lembrar que assíntotas verticais ocorrem nos zeros reais do denominador, desde que nesses pontos o numerador não se anule (caso contrário haveria um “buraco” e não assíntota).

Passo 2

Identificamos o denominador
D(x) = p\,x^{2} + 3x + p
e queremos que ele tenha exatamente duas raízes reais distintas. Para isso, o discriminante de D(x) deve ser positivo.

Passo 3

O discriminante de D(x) é
\Delta = 3^{2} - 4\,(p)\,(p) = 9 - 4p^{2}.
A condição \Delta>0
9 - 4p^{2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad 4p^{2} < 9 \quad\Longrightarrow\quad |p| < \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Para garantirmos que o denominador seja realmente de grau 2 (e não “cair” para grau 1), precisamos também que p\neq0. Se p=0, teríamos
D(x)=3x,
apenas uma raiz em x=0, ou seja, uma única assíntota vertical (e ainda haveria anulação simultânea do numerador).

Passo 5

Verificamos que o numerador
N(x)=x^{2}+p^{2}
é sempre positivo para p\neq0, então não há cancelamento nos zeros do denominador. Logo, para -\tfrac32<p<\tfrac32 com p\neq0 há exatamente duas assíntotas verticais.

Resposta

-\tfrac{3}{2}<p<0 \quad\text{ou}\quad 0<p<\tfrac{3}{2}.

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