Sabendo-se que a curva
, tem exatamente duas assíntotas verticais, qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede o(s) valor(es) de
para que haja exatamente duas assíntotas verticais. Vamos lembrar que assíntotas verticais ocorrem nos zeros reais do denominador, desde que nesses pontos o numerador não se anule (caso contrário haveria um “buraco” e não assíntota).
Passo 2
Identificamos o denominador
e queremos que ele tenha exatamente duas raízes reais distintas. Para isso, o discriminante de
deve ser positivo.
Passo 3
O discriminante de
é
A condição
dá
Passo 4
Para garantirmos que o denominador seja realmente de grau 2 (e não “cair” para grau 1), precisamos também que
. Se
, teríamos
apenas uma raiz em
, ou seja, uma única assíntota vertical (e ainda haveria anulação simultânea do numerador).
Passo 5
Verificamos que o numerador
é sempre positivo para
, então não há cancelamento nos zeros do denominador. Logo, para
com
há exatamente duas assíntotas verticais.