Quantas assíntotas verticais tem a curva
y=\frac{x^{2}+3}{x^{3}-(2 a+1) x^{2}+\left(a^{2}+2 a\right) x-a^{2}} ?

Passo 1

O enunciado pede o número de assíntotas verticais da curva
y=\frac{x^{2}+3}{x^{3}-(2a+1)x^{2}+(a^{2}+2a)x - a^{2}}.
O conteúdo aqui é estudar assíntotas verticais de uma função racional: elas ocorrem em cada raiz real do denominador que não seja cancelada pelo numerador.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
D(x)=x^{3}-(2a+1)x^{2}+(a^{2}+2a)x - a^{2}.
Note que
D(a)=a^{3}-(2a+1)a^{2}+(a^{2}+2a)a - a^{2}=0,
logo x-a é fator. Dividindo D(x) por x-a (síntese de Briot–Ruffini) obtemos o quociente
x^{2}-(a+1)x+a.

Passo 3

Agora resolvemos
x^{2}-(a+1)x+a=0.
O discriminante é
\Delta=(a+1)^{2}-4a=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}.
Logo as raízes são
x=\frac{(a+1)\pm|a-1|}{2},
isto é x=a e x=1. Portanto
D(x)=(x-a)^{2}(x-1).

Passo 4

Para cada raiz real x_{0} do denominador com numerador não nulo há assíntota vertical em x=x_{0}. O numerador x^{2}+3 não se anula para x\in\mathbb{R}. Assim as raízes reais de D(x) são
x=a\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad x=1\quad(\text{multiplicidade }1),
e ambas geram assíntotas verticais.

Resposta

Se a\neq1, as raízes x=a e x=1 são distintas, logo há duas assíntotas verticais.
Se a=1, as raízes coincidem em x=1, logo há uma única assíntota vertical.

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