Determine o conjunto de todos os valores de x para os quais as séries convergem.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{4^{n} \ln n}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de x para os quais a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{4^{n}\ln n}
converge. Para isso vamos determinar o raio de convergência via critério da raiz e depois testar os pontos de fronteira x=\pm4.

Passo 2

Usando o critério da raiz, consideramos \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|(-1)^{n}\frac{x^{n}}{4^{n}\ln n}\right|}.
Como \sqrt[n]{1/\ln n}\to1, obtém-se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=\frac{|x|}{4}.
Logo há convergência absoluta se \tfrac{|x|}{4}<1, isto é |x|<4, e diverge se |x|>4.

Passo 3

Em x=4 a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{4^{n}}{4^{n}\ln n} =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\ln n}.
Como \tfrac1{\ln n} é decrescente e tende a zero e o sinal alterna, ela converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Passo 4

Em x=-4 a série torna-se
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-4)^{n}}{4^{n}\ln n} =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n},
que diverge pois \sum1/\ln n não converge (por exemplo, comparando com \int_{2}^{\infty}\tfrac{dx}{\ln x}).

Resposta

A série converge para -4<x<4 e também em x=4. Em outras palavras, o conjunto de convergência é
(-4,4].

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